Etape 1
Dénombrer une collection en vrac (constituer une collection matérielle de référence).
La collection du jour – 1
(variations sur le dénombrement selon différentes unités)
Des exercices et problèmes pour s’entraîner et approfondir.
Dénombrer des collections totalement groupées.
Etape 2
Dénombrer une collection partiellement groupée.
La collection du jour – 2
(variations sur le dénombrement selon différentes unités)
Des exercices et problèmes pour s’entraîner et approfondir.
Recompositions et conversions sans contexte.
Des éléments de synthèse
Ce qu’il faut retenir sur les décompositions de nombres
Les situations proposées dans cette partie peuvent être consultées sur l’ancienne version du site (http://numerationdecimale.free.fr/).
Etape 1. Situation d’introduction. Combien de bûchettes ?
Enjeux pour le maître
Savoir dénombrer une collection.
Comprendre le lien entre les groupements effectués (aspect décimal : relations entre milliers, centaines …) et le nombre d’objets de la collection (aspect position de la numération).
Problème pour les élèves
Trouver le nombre de bûchettes.
Durée approximative
1ère étape : environ 1 heure (car il faut déjà compter environ 45 minutes pour faire faire tous les groupements aux élèves).
2ème étape : environ 30 à 45 minutes.
Matériel
Il faut prévoir du matériel de base en grande quantité (autour de 3000) comme par exemple des allumettes sans tête (« bûchettes »). Il faut également prévoir du matériel pour faire les groupements (des élastiques, des sachets de congélation, des boites alimentaires transparentes par exemple) : on veillera à utiliser des contenants différents par unité de numération. Matériel de numération des bûchettes : .doc
Remarque : il peut être intéressant de proposer des jeux du furet (.pdf) avant cette situation. En effet il faut que les enfants connaissent la suite orale des nombres pour les nombres à 3 chiffres et sachent dépasser le nombre « mille ». Cela permettra dans la situation ci-dessous de dénombrer la collection de bûchettes par le comptage oral. De plus le comptage oral est une procédure qui sera souvent utilisée durant la séquence pour vérifier des résultats.
Déroulement
1ère étape : dénombrer une collection non organisée
L’intérêt de cette première étape réside dans le fait de faire réaliser les groupements aux élèves afin d’intégrer le principe de groupements successifs par 10. C’est donc tout d’abord l’aspect décimal de la numération qui est en jeu (les relations entre les unités).
Question n°1 : comment faire pour savoir combien il y a de bûchettes ?
Etant donné la taille de cette collection on élimine rapidement la procédure de comptage un à un et on est amené rapidement à évoquer les groupements par 10 (si les élèves ne le proposent pas c’est l’enseignant qui s’en charge). Les enfants doivent alors effectuer les groupements par 10.
Une fois les groupes de 10 effectués, on remarquera qu’il y en a encore trop pour qu’on puisse les compter facilement, ce qui amène à les grouper encore par 10, en introduisant le matériel correspondant (sachets par exemple).
A partir des différentes sous-collections obtenues par les élèves, il faut ensuite poursuivre le rangement. Cela peut se faire collectivement. On voit rapidement apparaître la nécessité d’amener un matériel pour réaliser les groupements de 10 sachets (on peut utiliser des boites alimentaires transparentes par exemple).
Question n°2 : combien de bûchettes dans une boite ?
Il est possible de compter oralement les bûchettes de 100 en 100 dans les sachets mis dans la boîte (cent, deux-cents, … mille). On appelle ce groupement un millier et on pourra alors dire que “mille” c’est un millier. La boite contient donc dix sachets ou mille bûchettes.
Question n°3 : combien de bûchettes en tout ?
En montrant le matériel et en effectuant un comptage oral de mille en mille, cent en cent, dix en dix et un en un, la classe obtient alors un nombre comme par exemple “deux mille huit cent trente et un” qu’il faut ensuite écrire en chiffres.
Synthèse
Réalisation d’une affiche des différents groupements obtenus
2ème étape : dénombrer une collection déjà groupée
Il s’agit de proposer des exercices de dénombrement de collections dans des cas variés pour que les élèves s’approprient les relations entre le nombre d’unités, de dizaines, … et l’écriture en chiffres (aspect position de la numération). Le chiffre 0 apparaît alors comme nécessaire pour marquer l’absence de certaines unités après groupement. On peut également travailler ici la lecture/écriture des nombres à 4 chiffres.
Appropriation
L’enseignant présente des collections devant les élèves et leur demande combien il y a de bûchettes en tout. Ils doivent écrire le nombre en chiffres sur leur ardoise.
Exemples de collections :
Pour que les élèves n’aient pas à se déplacer, on peut écrire au tableau une description de la collection. Exemple : 3 milliers de bûchettes, 2 centaines de bûchettes, 8 dizaines de bûchettes et 5 bûchettes seules.
Procédures possibles
Comptage oral : de mille en mille puis cent en cent, … puis écriture du nombre en chiffres.
Lecture orale puis écriture en chiffres : 3 boites c’est « trois mille » puis 2 sachets c’est « deux cents », etc. puis écriture en chiffres 3285.
Position : écriture directe en chiffres à partir du nombre de milliers de bûchettes, de centaines de bûchettes, de dizaines de bûchettes et de bûchettes seules : 3285.
Problème : « combien de bûchettes ? »
Il s’agit du même problème mais sous forme d’un jeu de rapidité. Soit on demande aux élèves de trouver le nombre le plus rapidement possible, soit on montre la collection pendant un temps court (de l’ordre de 20 secondes) avant de la cacher. Les élèves écrivent sur leur feuille ou leur ardoise pendant que la collection est montrée.
Exemples de collections à dénombrer :
On s’attache à proposer des cas variés :
– avec unités dans le « bon ordre » ou dans le désordre mais avec toutes les unités présentes (collection n°1)
– avec certaines unités isolées absentes pour comprendre le rôle du zéro pour marquer la position des chiffres (collection n°2).
On utilise des collections pas trop petites pour éviter que les élèves aient le temps de compter de mille en mille, cent en cent, … comme dans les deux exemples. Le but étant qu’ils comptent directement les milliers (5), les centaines (7), les dizaines (8) et les unités (4) pour trouver l’écriture en chiffres (5784).
Phases de mise en commun :
Lorsque l’élève trouve un nombre à trois chiffres (n’écrit pas le 0 pour marquer l’absence d’unité), la lecture du nombre peut l’amener à prendre conscience de son erreur (car on n’entend pas « mille »).
On amène les élèves à faire le lien entre les chiffres du nombre, les unités et la collection : « le 6 que tu as écrit ici (par exemple dans 6970), peux-tu me montrer à quoi il correspond dans la collection ? ». Cela peut aussi permettre une vérification des réponses des élèves.
Il est aussi possible de discuter des méthodes pour être le plus rapide possible après avoir traité quelques cas.
Synthèse
La procédure d’obtention directe du nombre à partir de la collection groupée (technique de position) est apparue au fur et à mesure de la séance comme un moyen plus rapide, plus efficace que le comptage oral pour obtenir le nombre de bûchettes. Il faut maintenant mettre en mots cette technique en rappelant le lien entre collection, unités et écriture en chiffres. Cela peut se faire avec un tableau de numération. Cf éléments de synthèse : points 2 et 3.
La technique de lecture d’un nombre à quatre chiffres ainsi que le rôle du 0 seront également explicités.
Etape 1. Activité rituelle : La collection du jour (partie 1)
Enjeux pour le maître
Travailler le « changement de point de vue » sur les unités. Voir la centaine à la fois comme : une centaine, dix dizaines et cent unités.
Apprendre à dénombrer une collection selon différents types d’unités : en unités simples (comme pour les problèmes travaillés jusqu’ici), mais aussi en milliers, en centaines ou en dizaines.
Exemple : Combien y’a-t-il de milliers de bûchettes dans une collection (présente ou dessinée) de 23 centaines de bûchettes et 1 millier de bûchettes ?
Problème pour les élèves
Trouver le nombre de bûchettes : en unités, en dizaines, en centaines ou en milliers.
Durée approximative
environ 10 min, à faire régulièrement.
Matériel
Le matériel est présent ou représenté au tableau (avec des étiquettes ou vidéo-projetés, etc.). Le matériel présent dans la classe peut être aussi utilisé pour des vérifications ou en cas de difficulté.
Présentation de l’activité
Le document à télécharger présente les différentes variantes possibles de cette activité et donne des éléments pour la gérer dans la classe. Attention il est toutefois proposé pour des collections ne dépassant pas mille afin de faciliter la présentation. Il faudra jouer sur la taille des collections en utilisant bien-sûr le millier.
Il faut prévoir d’utiliser régulièrement cette activité en la faisant évoluer comme cela est proposé dans la présentation.
Déroulement
– Une collection est présentée, l’unité à dénombrer est indiquée
– Les élèves cherchent et écrivent sur l’ardoise (au signal de l’enseignant)
– Discussion des propositions (différencier les dizaines en tout et les dizaines toutes seules ici) et écriture de la justification par l’enseignant au tableau à partir de ce que disent les élèves (avec les unités et pas le dessin) comme par exemple :
– 1C 1C 1C 1C 3D = 10D 10D 10D 10D 3D = 43D
– 4C 3D = 40D 3D = 43D
Un site pour créer des dessins de collections facilement
Le site « Des outils pour la classe » propose divers outils de préparation pour l’enseignant. Une page de ce site est consacrée à la constitution de collections avec différents types de matériels (cubes, matériel Picbille, tickets de tombola) ou avec des étiquettes avec unités de numération ou écritures en puissances de 10 (1, 10, 100, 1000).
1000).
Exemples
Voir la centaine comme étant composée de 10 dizaines
ou dans l’autre sens :
Prolongement possible : l’activité inverse (retrouver l’unité qui est comptée).
Eléments de synthèse
1. Affiche : les unités de numération, les matériels de numération CommentaireIl est important de faire comprendre aux élèves que les unités de numération (unités, dizaines, centaines et milliers) sont des unités qui servent à exprimer des quantités (ce ne sont pas seulement les noms des colonnes dans le tableau de numération !). Nous proposons donc de réaliser une affiche progressivement sur laquelle apparaîtront les différents contextes rencontrés au cours de la séquence (cela peut aussi faire l’objet d’une trace dans le cahier des élèves). Cette affiche permettra également de comprendre que les groupements successifs par 10 ne sont pas spécifiques d’un matériel particulier (ce qui aura été perçu dans la résolution des exercices dans des contextes variés). On y fera figurer également les relations entre unités de manière décontextualisée. Cette affiche peut-être réalisée dès la fin de la première étape de la situation.
2. Comment dénombrer une collection ?
1er exemple : la collection est groupée en 2 milliers, 5 centaines, 1 dizaine et 4 unités
Les milliers s’écrivent au 4ème rang à partir de la droite :
| M | C | D | U |
| 2 | 5 | 1 | 4 |
On lit ce nombre : « deux-mille-cinq-cent-quatorze ».
2ème exemple : la collection est groupée en 1 millier, 3 centaines et 4 unités.
| M | C | D | U |
| 1 | 3 | 4 |
Ici il ne reste pas de dizaine toutes seules une fois tous les groupements effectués donc on en écrit le chiffre 0 au rang des dizaines (si on ne l’écrivait pas, on obtiendrait 134).
Cela fait donc un total de 1304.
On lit ce nombre : « mille-trois-cent-quatre » car pour la lecture d’un nombre le « un » ne se dit pas devant « mille » (comme devant « cent »).
Etape 1. Exercices et problèmes
Nous proposons ici une liste d’exercices et problèmes permettant de poursuivre le travail sur le dénombrement d’une collection.
La responsabilité est bien-sûr laissée à l’enseignant de :
– choisir ses exercices et problèmes : une courte description pour chacun peut aider l’enseignant dans son choix. L’ordre dans lesquels les exercices sont proposés peut constituer une trame de progression.
– modifier leur contenu pour l’adapter à sa progression, ses élèves … : les exercices sont proposés sous format .doc (document Microsoft Word®) afin de faciliter leur modification.
– choisir leur mise en oeuvre : ils peuvent être traités individuellement, en groupes ou collectivement. Sur cahier ou sur ardoise. Etc.
Pour chaque exercice nous indiquons les savoir-faire, c’est à dire les tâches qui sont travaillées et pour lesquelles les élèves vont apprendre des techniques pour les traiter. Nous précisons également les savoirs mathématiques qui permettent d’expliquer et de justifier ces techniques.
1000).
Un outil de préparation pour le dessin des collections
Le site « Des outils pour la classe » propose divers outils de préparation pour l’enseignant. Une page de ce site est consacrée à la constitution de collections avec différents types de matériels (cubes, matériel Picbille, tickets de tombola) ou avec des étiquettes avec unités de numération ou écritures en puissances de 10 (1, 10, 100, 1000).
Combien de cubes ?
| Savoir-faire : dénombrer une collection déjà groupée. | Savoir : principe de position de la numération (les milliers s’écrivent au 4ème rang à partir de la droite, etc.) |
Présentation : Un exercice d’entraînement au dénombrement de collections totalement groupées où on passe tout de suite dans un autre contexte que les bûchettes pour commencer à généraliser ce qui a été appris. Ce sont les unités de numération qui permettent de lier ces contextes : on passe de « milliers de bûchettes » à « milliers de cubes », etc. Cela devrait amener les enfants à dire « c’est comme les bûchettes … ».
De plus l’utilisation des unités de numération dans pour le dénombrement est important car il permet de vraiment travailler le lien unité/position et rend plus difficile le comptage oral (mille, deux mille, …).
Exemple : Une collection est constituée de 7 centaines de cubes + 6 milliers de cubes + 2 dizaines de cubes. Combien y a-t-il de cubes en tout ?
Ecriture en chiffres et en lettres
| Savoir faire : passer d’une écriture en chiffres à une écriture en lettres et réciproquement. | Savoirs : principe de position (dans 3214 il y a 3 milliers, etc.) et lien entre mots « milliers et « mille » (3 milliers se lit « trois mille » mais 1 millier se lit « mille »). |
Description : Comme il est nécessaire de dire les noms des nombres pour communiquer à l’oral, cela doit être travaillé dès le début de la séquence. On travaille cette tâche dans les deux sens (chiffres vers mots et mots vers chiffres).
Exemples : Ecris en lettres le nombre 3045. Ecris en chiffres le nombre « deux-mille-cent-douze ».
Assez d’argent ?
| Savoir-faire : comparer une collection déjà groupé à un nombre écrit en chiffres. | Savoirs : Principe de position de la numération (pour comparer 3480 et 3602 comme il y a 3 milliers dans les deux nombres il faut comparer les centaines). |
Description : Permet de travailler la comparaison dans une tâche plus complexe que la comparaison directe à partir des nombres. Il est en effet nécessaire de déterminer d’abord le montant en euros possédé par la personne avant de pouvoir comparer au prix de l’article.
L’utilisation de la monnaie permet d’introduire une nouvelle expression des unités : la centaine d’euros s’écrit « 100 », la dizaine « 10 » et l’unité « 1 ».
Ce passage à la monnaie est aussi une étape supplémentaire dans l’abstraction car un billet de 100 euros ne contient pas 10 billets de 10 euros (alors qu’un sachet de 1 centaine de bûchettes contient 10 dizaines de bûchette). La centaine n’est plus vue comme un groupement de 10 dizaines mais plutôt comme équivalente à 10 dizaines (on peut échanger 1 billet de 100 contre 10 billets de 10).
Exemple : M. Franquin possède la somme suivante : 2 milliers d’euros, 8 billets de 10 euros et 5 billets de 100 euros. Il souhaite acheter un abri de jardin à 2749 euros. A-t-il assez d’argent ? Explique.
Combien de carreaux ? (papier millimétré)
| Savoir-faire : Dénombrer des collections dont le groupement n’est pas visible à première vue. | Savoirs : Principe décimal (repérer les groupements par 10, 100, 1000 sur le papier quadrillé) et principe de position (pour associer le nombre de groupements de chaque ordre à leur rang). |
Description : Il s’agit d’un problème qui reprend la tâche de dénombrement. Cependant la spécifité du papier millimétré fait que des groupements sont possibles par 10, 100, 1000 mais ils ne sont pas donnés directement. Ce sera aux élèves de comprendre comment sont organisés les carreaux pour pouvoir les dénombrer rapidement. La rapidité sera un critère essentiel pour amener les élèves à repérer les groupements.
Comparaisons de nombres, rangement
| Savoir-faire : comparer, ranger. Compléter des suites de nombres. | Savoirs : Principe de position de la numération. |
Description : Des exercices de comparaison de nombres à partir de l’écriture chiffrée. La technique de comparaison de nombres vue pour les nombres à trois chiffres est étendue au cas des nombres à 4 chiffres.
Exemple : avec 0, 2, 6, 9 écris le plus grand nombre de 4 chiffres.
Etape 2 : situation d’introduction. Des bûchettes en pagaille.
Enjeux pour le maître
Savoir dénombrer une collection partiellement groupée.
Description : Ce problème permet de rompre avec une conception uniquement positionnelle (juxtaposition des chiffres). Il s’agit encore d’une situation de dénombrement mais les collections utilisées ne seront pas totalement groupées : il reste certaines unités en nombre supérieur à 10. Cela devrait amener les élèves à utiliser les relations entre unités : 10C = 1M, 10D = 1C et 10U = 1D.
Exemple : Combien y’a-t-il de bûchettes dans une collection de 23 centaines de bûchettes, 1 millier de bûchettes, 5 bûchettes à l’unité et 6 dizaines de bûchettes ?
Problème pour les élèves
Trouver le nombre de bûchettes.
Durée approximative
Environ 45 min à 1 heure.
Matériel
Matériel de numération des bûchettes : .doc Les élèves ont un support écrit pour faire leur recherche.
Déroulement
Appropriation : dénombrer une collection totalement organisée
Pour permettre aux élèves de s’approprier le travail avec les unités de numération on commence par proposer un dénombrement d’une collection totalement groupée.
Exemple :
8 dizaines de bûchettes, 3 milliers de bûchettes et 1 bûchette à l’unité (pour simplifier l’écriture, on peut décider d’écrire maintenant cette collection sous la forme : 8D + 3M + 1U).
Le problème
L’enseignant propose une collection de bûchettes « en pagaille ». Il va falloir trouver combien de bûchettes il y a en tout dans cette collection.
Exemples
1. Combien y’a-t-il de bûchettes dans une collection de 24 centaines de bûchettes, 1 millier de bûchettes, 5 bûchettes à l’unité et 6 dizaines de bûchettes ? (on pourra l’écrire sous la forme : 24C 1M 7U 6D).
2. Une collection de 34C 7U 2M.
3. Une collection de 53D 3M 5C.
4. Une collection de 71C 2M 5D.
Etc.
Erreurs prévisibles
Lorsque les élèves essaient de trouver directement l’écriture du nombre, certains ne prennent pas en compte le fait que les collections ici ne sont pas totalement groupées. Du coup ils juxtaposent les chiffres comme par exemple 24C 1M 7U 6D = 12467. Mais la taille du nombre obtenu permet de prendre conscience de l’erreur pour ce cas. Pour 34C 7U 2M, l’élève peut avoir plus de difficulté à repérer l’erreur 2347. On peut s’appuyer sur la valeur des chiffres : 4 au 2ème rang c’est 4 dizaines et non 4 centaines. D’autres erreurs concernent le regroupement des unités du même ordre en faisant une addition, comme par exemple : 24C 1M 7U 6D = 1667 car 2C + 4C = 6C.
Procédures attendues
Exemple d’une collection de 24C 1M 7U 6D :
Par le dessin et comptage : dessin de 24 sachets de 100 bûchettes, 1 boite de 1000, etc. puis comptage oral, jusqu’à « trois-mille-quatre-cent-soixante-seize » que l’on écrit 3476.
Par le dessin et des groupements : dessin de 24 sachets de 100 bûchettes puis regroupement des 20 sachets en 2 boites, etc. Il reste à la fin 3 boites, 4 sachets, 7 paquets et 6 bûchettes seules, soit 3476.
Ecritures additives : 100 + 100 + 100 + 100 + … puis regroupement des paquets de 100 par 10 pour faire des milliers. On obtient ainsi 3 milliers, 4 centaines, 7 dizaines et 6 unités, soit 3476.
Utilisation de conversions entre unités : conversion de 24C en 2M + 4C. On obtient ainsi 3 milliers, 4 centaines, 7 dizaines et 6 unités, soit 3476.
Les trois premières procédures sont coûteuses étant donnés la taille des nombres (et devient donc de plus en plus couteuse au fur et à mesure des cas). Ceci devrait amener tous les élèves à utiliser progressivement les conversions.
Aides possibles : il est possible de vérifier leur solution en utilisant le matériel des bûchettes (au moins pour les premières collections quand la taille des nombres le permet, pour les collections ayant un grand nombre de milliers il faut faire anticiper les groupements aux élèves en s’appuyant sur les relations entre unités : 60C = 6M car 10C = 1M …).
Pour conclure (synthèse) on reviendra sur la nécessité de faire des groupements dès que l’on a plus de 10 centaines (ou dizaines, ou unités).
On rappellera que 10 unités sont égales à 1 dizaine, 10 dizaines à 1 centaine et 10 centaines à 1 millier.
Pour cela on peut faire référence à l’affiche sur les relations entre unités.
Prolongements :
– Même activité avec des collections ayant plus de dix unités à plusieurs ordres : 65C 2M 36D, 51C 72D 45U, etc.
– Des exercices systématiques de conversions entre unités (dans un autre contexte et/ou sans contexte)
Eléments de synthèse
On revient sur les relations entre unités (le principe décimal de la numération) :
10 unités = 1 dizaines
Donc 20 unités = 2 dizaines,
30 unités = 3 dizaines,
40 unités = 4 dizaines,
etc.
10 dizaines = 1 centaine
Donc 20 dizaines = 2 centaines,
30 dizaines = 3 centaines,
40 dizaines = 4 centaines,
etc.
10 centaines = 1 millier
Donc 20 centaines = 2 milliers,
30 centaines = 3 milliers,
40 centaines = 4 milliers,
etc.
Commentaires didactiques pour l’enseignant
Le choix de cette situation est lié à des difficultés de prise en compte de l’aspect décimal dans un dénombrement d’une collection partiellement groupée. Les élèves, même s’ils ont compris le principe de position et le rôle du zéro, vont écrire des choses comme 12C 4M 5D 8U = 41258 ou 4178 ou 4358 par des juxtapositions ou ajouts de chiffres.
Le fait de mettre de prendre en compte ces erreurs dans les phases collectives permet d’engager une discussion sur leur validité. L’aspect décimal (notamment la relation centaine/millier) apparaît alors comme une nécessité afin d’obtenir une décomposition canonique, c’est-à-dire avec au plus 9 unités à chaque ordre, qui fournit directement l’écriture en chiffres par le principe de position (exemple : 5M 2C 5D 8U = 5258).
Etape 2. Activité rituelle : La collection du jour (partie 2 : avec les unités, absence du matériel)
Enjeux pour le maître
Travailler le « changement de point de vue » sur les unités. Voir la centaine à la fois comme : une centaine, dix dizaines et cent unités.
Apprendre à dénombrer une collection selon différents types d’unités : en unités simples (comme pour les problèmes travaillés jusqu’ici), mais aussi en milliers, en centaines ou en dizaines.
Exemple : Combien y’a-t-il de milliers de bûchettes dans une collection de 23 centaines de bûchettes et 1 millier de bûchettes ?
Problème pour les élèves
Trouver le nombre de bûchettes : en unités, en dizaines, en centaines ou en milliers.
Durée approximative
environ 10 min, à faire régulièrement.
Matériel
Le matériel est représenté au tableau (avec des étiquettes ou vidéo-projetés, etc.). Du matériel peut aussi être présent dans la classe pour des vérifications ou en cas de difficulté (par exemple des bûchettes).
Présentation de l’activité
Il s’agit de la suite de l’activité déjà faite pour l’étape 1, mais cette fois-ci les collections ne sont plus présentes ou plus représentées mais elles sont décrites en unités de numération. C’est une étape essentielle pour travailler les conversions entre unités.
Ce document à télécharger présente les différentes variantes possibles de cette activité et donne des éléments pour la gérer dans la classe. Attention il est toutefois proposé pour des collections ne dépassant pas mille afin de faciliter la présentation. Il faudra jouer sur la taille des collections en utilisant bien-sûr le millier.
Il faut prévoir d’utiliser régulièrement cette activité en la faisant évoluer comme cela est proposé dans la présentation.
Déroulement
– Une écriture en unités de numération est proposée, l’unité à dénombrer est indiquée
– Les élèves cherchent et écrivent sur l’ardoise (au signal de l’enseignant)
– Discussion des propositions (différencier les dizaines en tout et les dizaines toutes seules ici) et écriture de la justification par l’enseignant au tableau à partir de ce que disent les élèves (avec les unités et pas le dessin) comme par exemple :
– 1C 1C 1C 1C 3D = 10D 10D 10D 10D 3D = 43D
– 4C 3D = 40D 3D = 43D
Exemples
1. Voir la centaine comme 10 dizaines
2. A partir de la même écriture il est aussi possible de demander « combien de dizaines ? » Il faut alors prendre en compte les dizaines qui sont dans les centaines :
24 dizaines, 8 unités, 1 centaine. Combien de centaines en tout ?
3. Il est aussi possible d’utiliser des écritures avec abréviations des unités de numération :
1C 2D 13D . Combien de centaines en tout ?
Prolongement possible : l’activité inverse (retrouver l’unité qui est comptée)
Exemple (toujours la centaine comme 10 dizaines) :
1C 2D 13D. J’en ai 2. Qu’est-ce que je compte ?
Etape 2. Exercices et problèmes
Nous proposons ici une liste d’exercices et problèmes permettant de poursuivre le travail sur le dénombrement d’une collection partiellement groupée et de travailler les conversions entre unités.
La responsabilité est bien-sûr laissée à l’enseignant de :
– choisir ses exercices et problèmes : une courte description pour chacun peut aider l’enseignant dans son choix. L’ordre dans lesquels les exercices sont proposés peut constituer une trame de progression.
– modifier leur contenu pour l’adapter à sa progression, ses élèves … : les exercices sont proposés sous format .doc (document Microsoft Word®) afin de faciliter leur modification.
– choisir leur mise en oeuvre : ils peuvent être traités individuellement, en groupes ou collectivement. Sur cahier ou sur ardoise. Etc.
Pour chaque exercice nous indiquons les savoir-faire, c’est à dire les tâches qui sont travaillées et pour lesquelles les élèves vont apprendre des techniques pour les traiter. Nous précisons également les savoirs mathématiques qui permettent d’expliquer et de justifier ces techniques.
, 1000).
Outil de préparation pour le dessin des collections
Le site « Des outils pour la classe » propose divers outils de préparation pour l’enseignant. Une page de ce site est consacrée à la constitution de collections avec différents types de matériels (cubes, matériel Picbille, tickets de tombola) ou avec des étiquettes avec unités de numération ou écritures en puissances de 10 (1, 10, 100, 1000).
Qui a le plus ?
| Savoir-faire : comparer deux collections partiellement groupées. | Savoirs : Principe décimal (puisque les collections ne sont pas totalement groupées il faudra faire des conversions, comme par exemple 41 centaines = 4 milliers + 1 centaine). L’aspect position est en jeu si les élèves passent par l’écriture en chiffres, ce qui n’est pas nécessaire ici. |
Description : Des comparaisons dans différents contextes (bûchettes, cubes, monnaie). On commence par proposer des collections représentées pour que les élèves puissent faire référence au groupement du matériel (« quand on a 10 sachets on peut les mettre dans une boite, etc.). Mais progressivement on amène les élèves à faire les conversions en s’appuyant sur les relations entre unités : 10 centaines = 1 millier, etc.
Exemple : Une école possède 2 milliers de cubes, 41 centaines de cubes et 25 cubes seuls. Une autre possède 6 milliers de cubes et 4 dizaines de cubes. Qui a le plus de cubes ?
Conversions d’unités
| Savoir-faire : convertir entre unités de numération. | Savoirs : Principe décimal (relations entre unités de numération : 30 centaines = 3 milliers car 10 centaines = 1 millier). |
Description : Des conversions dans différents contextes (pas avec les bûchettes puisque cela a fait l’objet du « jeu des paris »). L’élève doit prendre conscience qu’indépendamment du matériel on a toujours 10 unités = 1 dizaines, 10 dizaines = 1 centaines et 10 centaines = 1 millier.
Exemples : Combien de milliers de cubes peut-on faire avec 41 centaines de cubes ? Combien faut-il de billets de 100 euros pour faire 5 milliers d’euros ?
Conversions et compositions de nombres (Exercices hors contexte)
| Savoir-faire : Retrouver un nombre à partir d’une écriture en unités et faire des conversions entre unités. | Savoirs : Principe de position et principe décimal (relations entre unités de la numération). |
Description : Des exercices qui reprennent les tâches travaillées précédemment mais hors contexte.
Exemples : 60 C = … M ou encore 34 centaines + 8 dizaines + 2 milliers + 6 unités = …
Conversions et ajout d’unités
| Savoir-faire : convertir entre unités de numération. | Savoirs : Principe de position et principe décimal (relations entre unités de la numération). |
Description : Des exercices d’ajouts d’unités pour travailler les conversions tout en mêlant les écritures en unités de numération et les écritures du type 300, 5000, etc. Hors contexte.
Exemples : Combien de centaines faut-il ajouter à 2 milliers pour faire 3000 ? Combien de centaines faut-il ajouter à 600 pour faire 1 millier ? Combien faut-il ajouter à 45 centaines pour faire 6 milliers ?
Conversions et multiplications par 10, 100 ou 1000 (Exercices hors contexte)
| Savoir-faire : Multiplier un nombre par 10, 100 ou 1000. | Savoirs : Principe de position et principe décimal (relations entre unités de la numération : 23×100 = 23C = 2M + 3C = 2300U car 10C = 1M). |
Description : Cet exercice permet de faire le lien entre la « règle des zéros » pour la multiplication par 10, 100, 1000 et les conversions entre unités. En effet les conversions nous donnent : 23C = 2M + 3C = 2300U ou encore 61D = 6C + 1D = 610. On constate alors que multiplier un nombre par 100 revient à écrire deux zéros à droite (pour que les unités deviennent des centaines) ou multiplier un nombre par 10 revient à écrire un zéro à droite (pour que les unités deviennent des dizaines). On traitera le cas de la multiplication par 1000 seulement dans le cas de nombres à 1 chiffre (pour le moment).
Exemples : 41 dizaines = ………… unités, 36 centaines = ………… unités, etc.
Jeu des familles
| Savoir-faire : associer différentes écritures d’un même nombre. | Savoirs : Principe de position et principe décimal |
Description : Il s’agit d’associer différentes écritures (à colorier) d’un même nombre en utilisant les connaissances sur la numération. Des pièges sont présents. Ils obligeront les élèves à être vigilants.
Des éléments de synthèse
Les savoirs en jeu
1. Dénombrer une collection en vrac.
Il faut commencer par faire des groupements par dizaines, puis par centaines et par milliers.
2. Les relations entre unités
3. Dénombrer une collection déjà groupée.
1er exemple : la collection est groupée en 2 milliers, 5 centaines, 1 dizaine et 4 unités
Les milliers s’écrivent au 4ème rang à partir de la droite :
| M | C | D | U |
| 2 | 5 | 1 | 4 |
On lit ce nombre : « deux-mille-cinq-cent-quatorze ».
2ème exemple : la collection est groupée en 1 millier, 3 centaines et 4 unités.
| M | C | D | U |
| 1 | 3 | 4 |
Ici il ne reste pas de dizaine toutes seules une fois tous les groupements effectués donc on en écrit le chiffre 0 au rang des dizaines (si on ne l’écrivait pas, on obtiendrait 134).
Cela fait donc un total de 1304.
On lit ce nombre : « mille-trois-cent-quatre » car pour la lecture d’un nombre le « un » ne se dit pas devant « mille » (comme devant « cent »).
4. Dénombrer une collection où les groupements ne sont pas finis.
La collection : 3 milliers + 45 centaines + 31 dizaines + 54 unités.
On convertit :
– les centaines en milliers : 45 centaines = 4 milliers + 5 centaines,
– les dizaines en centaines : 31 dizaines = 3 centaines + 1 dizaine,
– les unités en dizaines : 54 unités = 5 dizaines + 4 unités.
On compte les milliers, centaines dizaines et unités obtenues : 7 milliers + 8 centaines + 6 dizaines + 4 unités. Cela fait donc un total de 7864.
5. Pour convertir :
10 unités = 1 dizaines
Donc 20 unités = 2 dizaines,
30 unités = 3 dizaines,
40 unités = 4 dizaines,
etc.
10 dizaines = 1 centaine
Donc 20 dizaines = 2 centaines,
30 dizaines = 3 centaines,
40 dizaines = 4 centaines,
etc.
10 centaines = 1 millier
Donc 20 centaines = 2 milliers,
30 centaines = 3 milliers,
40 centaines = 4 milliers,
etc.
Remarque : d’autres savoir-faire sont apparus au cours des exercices (comparaison, multiplication par 10, 100, 1000, etc.). Nous n’indiquons que ceux relatifs au dénombrement d’une collection. Tous ces savoir-faire s’appuient sur les mêmes savoirs : les deux principes de la numération.
Propositions pour la classe
1. Une première synthèse suite à la situation d’introduction « Combien de bûchettes ? » (cf description de cette situation).
2. Des synthèses régulières au fur et à mesure de la séquence. Cela peut prendre la forme :
– de bilans de fin de séance, après avoir traité un exercice ou un problème. L’enseignant demande aux élèves : « Qu’avez-vous appris aujourd’hui ? » pour engager la discussion. Ensuite il pointe ce qu’il est important de retenir.
– de moments de rappel en début de séance où les élèves racontent ce qu’ils ont fait la dernière fois et l’enseignant pointe ce qu’il est important de retenir.
3. Un bilan de savoir, pour rappeler ce que les enfants ont appris et se tester sur quelques exercices qu’il faut savoir faire.
Le bilan de savoir est un moment où l’on revient sur ce que l’on a appris avec les élèves depuis que l’on travaille sur le dénombrement de collections. Il s’agit d’expliciter les savoirs mathématiques qui ont émergés dans les activités.
Nous faisons ici une proposition de déroulement possible, sachant qu’il y a beaucoup de façons différentes de faire ce bilan. Seul le contenu de ce bilan reste le même. Il est par exemple possible de poser une question beaucoup plus ouverte en demandant aux élèves ce qu’ils ont appris depuis que l’on compte des collections. Il est aussi possible de demander des productions écrites à partir desquelles on va pouvoir faire un travail collectif. Etc.