Etape 3
Commander une collection sans ou avec différentes contraintes sur le stock disponible (pas de millier, …)
Des exercices et problèmes pour s’entraîner et approfondir
Etape 4
Décompositions sans contexte : Trouver différentes décompositions de 3421 en utilisant les unités de numération (milliers, centaines, …).
Le nombre du jour
Des exercices et problèmes pour s’entraîner et approfondir
Des éléments de synthèse
Ce qu’il faut retenir sur les décompositions de nombres
Les situations proposées dans cette partie peuvent être consultée sur l’ancienne version du site (http://numerationdecimale.free.fr/).
Etape 3. Situation d’introduction. Le jeu des commandes.
Il s’agit de la situation inverse de la situation précédente de dénombrement car il s’agit de partir du nombre total de la collection (écrit en chiffres) pour produire une collection en tenant compte de diverses contraintes. Cela va permettre d’engager tout un travail (qui se prolongera dans les exercices et problèmes) sur la prise d’informations directe à partir de l’écriture chiffrée. Par exemple l’écriture 2165 nous dit que le nombre est composée de 2M 1C 3D 5U mais aussi 21C 3D 5U, ou encore 2M 13D 5U, etc. Il sera également possible (cf exercices et problèmes) de résoudre des problèmes, par lecture directe sur l’écriture chiffrée, comme par exemple : « Le directeur de l’école a besoin de 1350 billets de tombola. Les billets sont vendus par carnets de 100. Combien faut-il en commander ? ».
Enjeux pour le maître
Produire des collections à partir de l’écriture chiffrée. Découvrir que l’on peut obtenir des informations sur la collection directement à partir de l’écriture chiffrée.
Formuler une méthode (2ème étape) pour cette prise d’information dans un cas particulier (recherche d’une décomposition en centaines, dizaines, unités d’un nombre à 4 chiffres).
Problème pour les élèves
Passer une commande de bûchettes.
Durée approximative
1ère étape : une séance d’environ 45 minutes à 1h.
2èmeétape : une séance d’environ 45 minutes.
Matériel
Matériel des bûchettes. Feuilles A3 pour les affiches éventuelles et marqueurs (2ème étape).
Déroulement
1ère étape : réaliser des commandes
Phase 1 : Appropriation
Le maître est un marchand de bûchettes : il en a à l’unité, par dizaine (paquets de dix), par centaine (paquets de cent) et par millier (paquets de mille).
« Vous avez des commandes de bûchettes à faire. Il vous faut exactement le bon nombre de bûchettes. Combien pouvez-vous commander de bûchettes à l’unité, par dizaines, par centaines et par milliers ? »
Exemples de commandes : 2165 bûchettes, 4708 bûchettes.
Phase 2 : Le problème
Différentes contraintes sont proposées :
1. Le marchand n’a plus de bûchettes par milliers (rupture de stock). Que faut-il commander pour avoir le nombre de bûchettes que l’on veut ?
Exemples de commandes : 1385 bûchettes, 2165 bûchettes.
Remarque : il est possible que certains élèves commandent 1385 bûchettes à l’unité. L’enseignant peut alors faire remarquer que cette commande est correcte mais serait coûteuse à réaliser et suggérer que l’on veut que notre commande n’utilise pas trop d’objets pour être facilement réalisée.
Vérification des réponses des élèves : par utilisation des unités de numération, par exemple 3C + 8D + 5U = 385 ou 13C + 8D + 5U = 1M + 3C + 8D + 5U = 1385. Mais pour les élèves en difficulté on pourra réaliser leur commande avec le matériel et dénombrer les bûchettes.
2. Le marchand n’a plus de bûchettes par centaines (mais il a des milliers). Que faut-il commander pour avoir le nombre de bûchettes que l’on veut ?
Exemples de commandes : 2165 bûchettes, 5407 bûchettes.
3. Le marchand n’a plus de bûchettes ni par milliers ni par dizaines. Que faut-il commander pour avoir le nombre de bûchettes que l’on veut ?
Exemples de commandes : 4027 bûchettes, 2165 bûchettes.
Variable principale : le stock du marchand. Par exemple le fait de ne plus avoir de bûchettes par milliers va amener les élèves à chercher comment faire des milliers en utilisant des centaines, donc faire des conversions de milliers en centaines. S’il n’y a plus de centaines, on est amené à faire des conversions de centaines en dizaines, etc. La taille des nombres est également une variable importante car plus elle augmente, plus la procédure de passage par le dessin ou les écritures additives deviennent coûteuses.
Procédures possibles. Pour le premier cas (pas de millier). Pour une commande de 1385 bûchettes par exemple, les élèves peuvent commander 13 centaines 8 dizaines et 5 bûchettes seules. Voici des exemples de procédures possibles pour arriver à ce résultat :
Par le dessin : dessin de sachets de 100 bûchettes et comptage de cent en cent jusqu’à « mille trois cents ». Comptage du nombre de sachets de 100 obtenus : il y en a 13. | Ecritures additives : 100 + 100 + 100 + 100 + … jusqu’à 1300 et comptage du nombre de 100 obtenus. Il y a 13 sachets de 100. | Utilisation d’une conversion : conversion de 1 millier en 10 centaines et ajout des 3 centaines restantes. 13 centaines. | Lecture directe à partir de l’écriture chiffrée : dans 1385 il y a 13 centaines. |
Une fois que les élèves ont trouvé le nombre de sachets ils peuvent trouver le nombre de paquets de dix et de bûchettes à l’unité par lecture au rang des dizaines et des unités : 8 paquets de 10 et 5 bûchettes à l’unité. | |||
Phase de synthèse (partie 1 des éléments de synthèse)
Faire le bilan sur les différentes façons de commander 2165 bûchettes. Expliquer que les quatre commandes différentes correspondent à différentes « décompositions » du nombre 2165. Ces décompositions seront mises en évidence, sans indiquer pour le moment de méthode (ce sera l’enjeu des phases suivantes).
2ème étape : formuler une méthode
Phase 3. Formuler une méthode générale
On considère à nouveau le cas où le marchand n’a plus de bûchettes par milliers.
Consigne : « Vous allez écrire une méthode pour trouver ce qu’il faut commander au marchand (qui n’a pas de bûchettes par millier). Votre méthode doit marcher pour n’importe quel nombre ».
Les élèves écrivent une affiche par groupes.
Difficultés possibles : les élèves peuvent rencontrer des difficultés pour écrire une méthode : certains se contentent de donner un exemple. L’enseignant peut alors leur demander d’expliquer à l’oral comment ils ont trouvé ce nombre de centaines, puis leur dire d’écrire cette méthode.
Exemples de formulations incomplètes pour trouver le nombre de centaines :
1. « Il faut couper le nombre en deux. » |
2. « Il faut regarder les deux premiers chiffres du nombre et les deux premiers chiffres est égal au nombre de centaines ». |
3. « Il faut regarder les deux premiers nombres et les transformer en paquets de 100 » |
Limites des formulations « deux premiers chiffres » ou « couper le nombre en deux » : elles ne sont pas générales. Elles ne marchent plus si on a un nombre à 3 chiffres par exemple (ou plus tard à 5 chiffres, etc.).
Complément sur les formulations prévisibles et la façon de les faire évoluer.
Phase 4. Justification et vérification des méthodes
L’enseignant sélectionne quelques affiches (3 ou 4) qu’il présente aux élèves (au tableau ou sur une feuille …).
En collectif, les élèves doivent chercher si les méthodes fonctionnent pour n’importe quel nombre.
Consigne : « Pour chacune des méthodes vous devez chercher si elles fonctionnent bien pour n’importe quel nombre ».
On peut attendre que les élèves proposent des nombres pour vérifier. S’ils ne le font pas d’eux-mêmes, l’enseignant leur propose de le faire.
Il les encourage à chercher des nombres pour lesquels les méthodes incorrectes ne fonctionnent pas. Par exemple pour amener les élèves à préciser les formulations du type « les deux premiers chiffres » ou « couper le nombre en deux », l’enseignant proposera (si les élèves ne le font pas) de tester avec des nombres de 2 ou 3 chiffres.
Il amènera également les élèves à expliquer pourquoi il faut regarder le rang des milliers aussi et pas seulement le rang des centaines pour trouver le nombre de centaines.
Phase 5. Synthèse (partie 2 des éléments de synthèse)
« A partir de vos méthodes, nous allons maintenant écrire une méthode pour la classe, qui doit nous permettre de décomposer un nombre plus grand que mille sans utiliser de milliers ».
Prolongement possible
On peut poursuivre en travaillant avec d’autres décompositions : « et si le marchand n’a plus de centaines de bûchettes ? », quelle sera la méthode ? etc.
Etape 3. Exercices et problèmes
Nous proposons ici une liste d’exercices et problèmes permettant de poursuivre le travail sur les commandes.
La responsabilité est bien-sûr laissée à l’enseignant de :
– choisir ses exercices et problèmes : une courte description pour chacun peut aider l’enseignant dans son choix. L’ordre dans lesquels les exercices sont proposés peut constituer une trame de progression.
– modifier leur contenu pour l’adapter à sa progression, ses élèves … : les exercices sont proposés sous format .doc (document Microsoft Word®) afin de faciliter leur modification.
– choisir leur mise en oeuvre : ils peuvent être traités individuellement, en groupes ou collectivement. Sur cahier ou sur ardoise. Etc.
Commandes de cubes
| Savoir-faire : décomposer un nombre de différentes façons (produire des collections en tenant compte de différentes contraintes). | Savoirs : Principe de position (le chiffre au 4ème rang indique le nombre de milliers à commander, etc.) et principe décimal (s’il n’y a pas de millier je commande 10 centaines pour chaque millier). |
Description : Entraînement direct de ce qui a été travaillé dans le jeu des commandes, dans un autre contexte déjà connu des élèves (cubes multi base). Cependant on introduit une nouvelle contrainte : pas de millier, ni de centaine. Cela amène à travailler la relation millier/dizaine (par exemple pour faire 3021 cubes il faut 302 dizaines et 1 cube seul).
Exemple : Le marchand possède des cubes par centaines et unités. Il n’a plus de millier, ni de dizaine. On veut 3071 cubes. Que peut-on commander ?
La compteuse de billets
| Savoir-faire : Décomposer un nombre de différentes façons (avec les unités 1, 10, 100, 1000) | Savoirs : Principe de position et principe décimal. |
Description : Jeu de recherche de plusieurs décompositions d’un nombre avec La « compteuse de billets ». Le fait d’utiliser la monnaie va permettre de produire des décompositions utilisant 1, 10, 100. Exemple : 3540 = 35×100 + 4×10.
Exemple : Le banquier a mis des billets de 10 et de 100 euros dans la machine. Nous ne savons pas combien. Nous connaissons seulement le montant affiché par la compteuse de billets : 2810 euros. Quels billets le banquier a-t-il pu mettre
Les commandes du directeur (problèmes de commandes)
| Savoir-faire : Résoudre des problèmes de recherche du nombre de centaines ou de dizaines. | Savoirs : principe de position, principe décimal. |
Description : Des problèmes de commandes dans deux contextes différents (billets de tombola, craies). Contrairement aux situations précédentes, il n’est pas possible de commander les objets à l’unité. Il sera donc nécessaire de commander plus d’objets qu’il n’en faut : par exemple pour commander 2135 craies on commandera 214 boites de 10 craies.
Exemple : Le directeur de l’école a besoin de 2135 craies. Combien faut-il commander de boites de 10 craies ?
Etape 4 : situation d’introduction. Jeu du télégramme.
D’après une situation de Butlen & Pezard, Grand N n°79 (adapté ici pour prendre en compte les écritures avec unités de numération).
Enjeux pour le maître
Il s’agit d’une situation de décomposition de nombre hors contexte qui permet de réinvestir les connaissances travaillées dans les commandes de collections.
Objectif : Produire des décompositions variées d’un nombre à partir de son écriture chiffrée.
Problème pour les élèves
Ecrire une décomposition « originale » d’un nombre.
Durée approximative
environ 45 min.
Matériel
Feuilles libres pour écrire les décompositions (elles seront à plier).
Déroulement
Présentation de la situation
Les élèves sont regroupés par équipe. Par exemple on peut considérer qu’une rangée d’élèves de la classe forme une équipe ou bien constituer des groupes de 4 à 6 élèves.
Chaque équipe dispose d’une feuille pré-pliée sur laquelle est inscrit un nombre : par exemple 3248.
Le premier élève écrit une première décomposition de ce nombre utilisant des unités de numération (par exemple 3 milliers + 248 unités) puis il cache l’écriture précédente (en repliant la feuille).
L’élève suivant reçoit donc la feuille où est seulement visible 3 milliers + 248 unités : il doit en donner une autre écriture (par exemple 32 centaines + 48 unités) puis il cache la précédente écriture, etc.
Chaque élève ne peut voir que la dernière écriture produite. Quand la feuille est remplie, on la déplie et compare les écritures produites. L’équipe gagnante est l’équipe qui a le plus d’écritures différentes.
Discussion collective sur la validité des décompositions produites et comptage des points de chaque équipe
Les équipes doivent se mettre d’accord sur la validité des différentes décompositions produites par l’ensemble des groupes.
Pour chacune de ses décompositions différentes, l’équipe marque 1 point. L’équipe gagnante est celle qui a le plus de points.
A partir des décompositions produites par l’ensemble des équipes l’enseignant revient sur les différentes façons de décomposer un nombre en lien avec les relations entre unités utilisées (cf éléments de synthèse).
Etape 4. Activité rituelle : Le nombre du jour
Enjeux pour le maître
Travailler les différentes décompositions d’un nombre.
Exemple : Trouver plusieurs décompositions d’un nombre en utilisant les unités, dizaines, centaines ou milliers.
Problème pour les élèves
Trouver plusieurs décompositions d’un nombre en unités, en dizaines, en centaines ou en milliers.
Durée approximative
environ 10 min, à faire régulièrement.
Matériel
Ardoise.
Présentation de l’activité
L’enseignant écrit un nombre (en chiffres) au tableau et les élèves doivent le décomposer de différentes manières sur leur ardoise, en utilisant les mots unités, dizaines, centaines ou milliers (pas forcément tous).
On peut varier le type de décompositions au fur et à mesure de la reprise du jeu en utilisant les écritures multiplicatives (par exemple 1234 = 12×100 + 3×10 + 4×1).
Etape 4. Exercices et problèmes
Nous proposons ici une liste d’exercices et problèmes permettant de poursuivre le travail sur les commandes et les décompositions de nombres.
Il reste bien-sûr à :
– choisir ses exercices et problèmes : une courte description pour chacun peut aider l’enseignant dans son choix. L’ordre dans lesquels les exercices sont proposés peut constituer une trame de progression.
– modifier leur contenu pour l’adapter à sa progression, ses élèves … : les exercices sont proposés sous format .doc (document Microsoft Word®) afin de faciliter leur modification.
– choisir leur mise en oeuvre : ils peuvent être traités individuellement, en groupes ou collectivement. Sur cahier ou sur ardoise. Etc.
Le jeu des décompositions (+ variantes)
| Savoir-faire : Déterminer différentes décompositions d’un nombre. | Savoirs : Principe de position, principe décimal. |
Description : Les décompositions doivent utiliser les mots unités, dizaines, centaines, milliers (pas de décompositions avec écritures multiplicatives par exemple).
Exemple : L’enseignant annonce le nombre 3418. Les élèves doivent en écrire le plus de décompositions possibles.
Variante tableur : .xls
Le furet des décompositions
| Savoir-faire : Décomposer un nombre de différentes façons. | Savoirs : Principe de position, principe décimal |
Description : Jeu à faire comme un jeu du furet : on donne un nombre, l’enseignant interroge les élèves chacun leur tour : ils doivent alors donner une décomposition de ce nombre qui n’a pas été encore trouvée.
Les décompositions doivent utiliser les mots unités, dizaines, centaines, milliers (pas de décompositions avec écritures multiplicatives par exemple).
Exemple : L’enseignant annonce le nombre 3418. Un premier élève dit 3M 4C 1D 8U, le suivant annonce 34C 1D 8U, le suivant 34C 18U, etc.
Le jeu de la boite
| Savoir-faire : Ajouter ou soustraire un nombre de milliers, centaines, … Avancer/reculer dans la suite écrite. | Savoirs : aspect position, aspect décimal. |
Description : Jeu d’ajout ou retrait d’unités à un nombre donné. Cela permet de lier le travail sur la numération à des techniques de calcul mental.
Quelques cas sans conversion sont traités au début (par exemple 1246 + 3 centaines) puis les cas avec conversions (par exemple 4925 + 2 centaines). Dans ce dernier cas on pourra utiliser les décompositions
– en centaines/unités. Exemple : 4925 + 2C. On sait que 4925 c’est 49C + 25U, donc si on ajoute 2C on obtient 51C + 25U soit 5125,
– en dizaines/unités. Exemple : 3681 + 6D. On sait que: par exemple 3681 c’est 368D + 1U, donc si on ajoute 6D on obtient 374D + 1U soit 3741.
Un prolongement (calcul mystère) est proposée dans lequel on donne le nombre avant et après et on cherche la transformation.
Exemple : Il y a 4925 bûchettes dans la boite. On en ajoute 2 centaines. Combien y’en a-t-il maintenant ?
Des commandes variées
| Savoir-faire : Déterminer le nombre de centaines ou dizaines dans des contextes de mesures de longueurs, de masse, de contenance. | Savoirs : aspect position, aspect décimal. |
Description : Il s’agit à nouveau de problèmes de commandes, mais dans des contextes de mesures de longueurs, de masse, de contenance. Cela nécessite donc d’avoir fait un travail préalable sur ces notions (il est aussi possible de sélectionner les problèmes en fonction des grandeurs déjà étudiées). Les élèves auront besoin de connaître quelques équivalences pour traiter ces problèmes : 1m = 1000mm, 1km = 1000m, 1kg = 1000g et 1l = 1000ml.
Exemples : 1. Une entreprise doit effectuer une livraison de sable de 4826 kg. Le sable est livré dans des sacs de 100 kg. Combien de sacs va-t-on remplir ? Que restera-t-il ?
2. On veut installer des guirlandes le long du trajet d’une course à pied de 5 km. Les guirlandes sont vendues par longueur de 100m. Combien faut-il acheter de lots de 100m ?
Des éléments de synthèse
1. Différentes façons de commander une collection à partir d’un nombre.
2. Comment trouver ces différentes écritures ?
La méthode est rédigée sous la dictée les élèves (mais avec l’aide de l’enseignant) suite à la situation de formulation.
Voici un exemple de formulation possible :
– Pour trouver le nombre de centaines dans un nombre plus grand que mille, on regarde le rang des milliers et le rang des centaines. Il ne faut pas oublier qu’il y a dix centaines dans chaque millier.
– Pour les dizaines on regarde le rang des dizaines.
– Pour les unités on regarde le rang des unités.
Un exemple :
Décomposer 2165 en centaines, dizaines et unités.
Remarque : pour la formulation de la méthode, à l’expression « chiffre des … » nous préférons utiliser le terme de « rang des … » (ou bien « le chiffre au rang des … ») qui font davantage référence à la position dans l’écriture chiffrée.
Propositions pour la classe
1. Une première synthèse suite à la situation d’introduction « Le jeu des commandes » (cf description de cette situation).
2. Des synthèses régulières au fur et à mesure de la séquence. Cela peut prendre la forme :
– de bilans de fin de séance, après avoir traité un exercice ou un problème. L’enseignant demande aux élèves : « Qu’avez-vous appris aujourd’hui ? » pour engager la discussion. Ensuite il pointe ce qu’il est important de retenir.
– de moments de rappel en début de séance où les élèves racontent ce qu’ils ont fait la dernière fois et l’enseignant pointe ce qu’il est important de retenir.
3. Un bilan de savoir, pour rappeler ce que les enfants ont appris et se tester sur quelques exercices qu’il faut savoir faire.
Le bilan de savoir est un moment où l’on revient sur ce que l’on a appris avec les élèves depuis que l’on travaille sur les commandes de collections. Il s’agit d’expliciter les savoirs mathématiques qui ont émergés dans les activités.
Nous faisons ici une proposition de déroulement possible, sachant qu’il y a beaucoup de façons différentes de faire ce bilan. Seul le contenu de ce bilan reste le même. Il est par exemple possible de poser une question beaucoup plus ouverte en demandant aux élèves ce qu’ils ont appris depuis que l’on compte des collections. Il est aussi possible de demander des productions écrites à partir desquelles on va pouvoir faire un travail collectif. Etc.