Les enjeux didactiques
Enjeux didactiques
Les enjeux principaux de cette progression sont d’amener les élèves à être capables de dénombrer n’importe quelle collection, quelle que soit son organisation ainsi que de savoir décomposer un nombre écrit en chiffres de différentes façons …
… tout en maîtrisant les relations entre unités (aspect décimal) sur lesquelles s’appuient ces décompositions, ce qui leur donne du sens. Les élèves seront ainsi amenés à utiliser les différentes unités de numération selon différents points de vue, comme l’illustre l’exemple de la centaine qui peut être considéré respectivement comme :
Les savoirs de notre système de numération écrite
Principe de position : Les milliers s’écrivent au 4ème rang à partir de la droite, les centaines au 3ème rang, etc.
Principe décimal : 1 dizaine = 10 unités, 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités, 1 millier = 10 centaines = 100 dizaines = 1000 unités
Résumé de la progression
Problème 1 : Dénombrer une collection
Une collection « en vrac » (avec des objets matériels) : « Combien y a-t-il de bûchettes dans cette collection qui est devant nous ? »
Une collection totalement groupée (les unités de numération désignant des groupements d’objets) : « Combien y a-t-il de cubesdans une collection de 3 milliers de cubes, 5 centaines de cubes et 2 cubes seuls ? ».
Une collection partiellement groupée : « Quel est le montant en euros d’une somme de 3 milliers d’euros, 12 billets de 100 euros et 4 billets de 10 euros ? »
Dénombrements et conversions sans contexte : « 5 centaines + 4 milliers + 7 unités = … ? » ou bien : « 2 milliers + 31 centaines + 7 unités = … ? » ou encore : « 4 milliers = … centaines ? ».
Problème 2 : Commander une collection
Commandes sans contrainte : « des bûchettes sont vendues par milliers, centaines, dizaines et unités. On souhaite en commander 2615. Que peut-on commander ? »
Commandes avec contraintes :
– « le marchand n’a plus de bûchettes par milliers. On souhaite commander 3052 bûchettes. Que peut-on commander ? ».
– « le marchand a des bûchettes par milliers mais il n’en a plus par centaines. Que peut-on commander ? », etc.
– Autres contextes : « Combien faut-il de billets de 100 euros pour payer une somme de 2079 euros ? », etc.
Sans contexte : Trouver différentes décompositions de 3421 en utilisant les unités de numération (milliers, centaines, …).
Les savoirs de notre système de numération écrite
Principe de position : Les milliers s’écrivent au 4ème rang à partir de la droite, les centaines au 3ème rang, etc.
Principe décimal : 1 dizaine = 10 unités, 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités, 1 millier = 10 centaines = 100 dizaines = 1000 unités
Dans une programmation de CE2, de CM1 et de CM2
Dans la programmation, en CE2
En CE2, il est conseillé de suivre l’ensemble des étapes proposées, dans l’ordre dans lesquelles elles sont proposées.
Après une reprise du travail sur les nombres inférieurs à 999 effectuée en début d’année (période 1), il est possible de proposer ce travail sur les milliers dès la fin de la période 1 ou lors de la période 2.
Dans la programmation, en CM1 et en CM2
En CM1 et en CM2, les situations proposées ici sur les milliers visent à réactiver les connaissances des élèves construites en CE2. S’il n’est pas souhaitable de passer autant de temps qu’en CE2, il peut être utile de reprendre les différentes étapes de la séquence. On ne cherchera pas alors à faire toutes les activités proposées mais plutôt à sélectionner les plus importantes pour cette réactivation de connaissances.
Ainsi le résumé de la progression (ci-dessus) peut constituer une aide pour identifier les grandes étapes à mettre en oeuvre lors de cette reprise des nombres inférieurs à 9 999.
Il nous semble intéressant de pouvoir s’appuyer sur un matériel de numération aussi en CM1 et CM2 surtout pour l’évoquer en cas de difficulté (il n’est pas forcément utile de faire construire la collection de bûchettes aux élèves mais plutôt d’utiliser une collection déjà prête). Pour des élèves qui auraient déjà travaillé avec le même matériel en CE2 il peut être intéressant de changer et d’utiliser par exemple le papier millimétré (comme cela est proposé dans l’activité « Combien de carreaux ? » dans les exercices de l’étape 1 ) ou d’autres matériel comme ceux évoqués dans les exercices de réinvestissement proposés (cubes multibase, monnaie, billets de tombola, …).
Enfin, dans la partie du site « Des entiers aux décimaux » les premières activités de comparaison de collections portent sur les nombres entiers et constituent aussi une base de travail pour la reprise des nombres inférieurs à 9 999 en début de CM1 ou CM2. Elles peuvent venir compléter les activités proposées dans cette séquence voire s’y substituer complètement, par exemple en CM2 avec des élèves qui auraient déjà une bonne maîtrise de la numération.
Avant de commencer
1. Où en sont les élèves ?
Voici des évaluations qui permet de faire le point sur les connaissances et difficultés des élèves pour chaque niveau de classe :
Evaluation CE2 (doc) – Evaluation CE2 (pdf)
Evaluation CM1 (doc) – Evaluation CM1 (pdf)
Evaluation CM2-6ème (doc) – Evaluation CM2 – 6ème (pdf)
L’accent a volontairement été mis sur certains exercices qui mettent en jeu le principe décimal de la numération afin de prendre conscience de difficulté que l’on ne perçoit pas toujours avec certains exercices de numération plus « classiques ».
Les résultats peuvent être déroutants : il ne s’agit pas de se décourager. Les situations proposées sur le site visent essentiellement à travailler le principe décimal et viennent donc enrichir les activités plus classiques que l’on trouve dans les manuels.
2. D’où viennent ces difficultés ?
Pour mieux comprendre l’origine des difficultés des élèves, vous pouvez vous référez à la rubrique Pour la formation.
3. Prendre le temps de s’approprier la progression proposée
En s’appuyant sur le résumé (ci-dessus) ainsi que sur la description plus détaillée (ci-dessous) de la trame de séquence à partir des deux situations principales (dénombrer une collection et commander une collection).1.
Etapes de la progression
Problème 1 : Dénombrer une collection : présentation des différentes variations (avec des cubes).
Le matériel des cubes sert à illustrer les différents cas possibles. Dans le cadre de la séquence nous préconisons de varier le matériel proposé aux élèves.
D
Pour la collection à dénombrer nous distinguerons les cas suivants :
ETAPE 1
- la collection à dénombrer n’est pas groupée (elle ne contient alors que des cubes isolés).
Combien y’a-t-il de cubes en tout ?
Remarque : les élèves sont amenés à faire des groupements par paquets de 10 successifs. On se retrouve alors dans le deuxième cas.
Exemple :
- la collection est totalement groupée en dizaines, centaines et milliers. Exemple :
Avec des unités de numération : la collection se compose de 3 milliers de cubes, 2 centaines de cubes, 4 dizaines de cubes et 5 cubes seuls. Combien y’a-t-il de cubes en tout ?
Le savoir en jeu : principe de position de la numération (les milliers s’écrivent au 4ème rang à partir de la droite, etc.)
Remarque : les élèves sont amenés à faire des groupements par paquets de 10 successifs. On se retrouve alors dans le deuxième cas.
ETAPE 2
- la collection est partiellement groupée en dizaines, centaines et milliers.
Avec des unités de numération : la collection se compose de 12 centaines de cubes, 2 milliers de cubes, 4 dizaines de cubes et 5 cubes seuls. Combien y’a-t-il de cubes en tout ?
Le savoir en jeu : principe décimal pour finir les groupements (10 centaines = 1 millier, etc.) et principe de position de la numération (les milliers s’écrivent au 4ème rang à partir de la droite, etc.)
- Cela amène à faire un travail sur les relations entre unités. Exemple à partir de la collection précédente
Combien y’a-t-il de centaines dans cette collection ? Ou combien y’a-t-il de milliers dans cette collection ?
Le savoir en jeu : principe décimal (10 centaines = 1 millier, etc.)
- Sans contexte. Exemples :
« 5 centaines + 4 milliers + 7 unités = … ? » ou bien : « 2 milliers + 31 centaines + 7 unités = … ? » ou encore : « 4 milliers = … centaines ? ».
Problème 2 : Commander une collection : présentation des différentes variations (avec des cubes).
ETAPE 3 :
Variations autour du stock du marchand :
- Le marchand possède tous les types de groupements : des cubes à l’unité, par dizaines, par centaines et par milliers.
Nous souhaitons avoir 1245 cubes. Que peut-on commander ?
Réponse possible : 1 millier + 2 centaines + 4 dizaines + 5 unités.
ETAPE 3 :
Variations autour du stock du marchand :
- Le marchand possède tous les types de groupements : des cubes à l’unité, par dizaines, par centaines et par milliers.
Nous souhaitons avoir 1245 cubes. Que peut-on commander ?
Réponse possible : 1 millier + 2 centaines + 4 dizaines + 5 unités.
- Le marchand possède des cubes à l’unité, par dizaines, par centaines mais n’a plus de cubes par milliers.
Nous souhaitons avoir 1245 cubes. Que peut-on commander ?
Réponse possible : 12 centaines + 4 dizaines + 5 unités.
Le savoir en jeu : principe de position de la numération (le chiffre situé au 3ème rang indique le nombre de centaines isolées, etc.) et principe décimal pour trouver le nombre de centaines (1 millier = 10 centaines).
- Le marchand possède des cubes à l’unité, par dizaines, par milliers mais n’a plus de cubes par centaines.
Nous souhaitons avoir 1245 cubes. Que peut-on commander ?
Réponse possible : 1 millier + 24 dizaines + 5 unités.
Le savoir en jeu : principe de position de la numération (le chiffre situé au 4ème rang indique le nombre de milliers, etc.) et principe décimal pour trouver le nombre de dizaines (1 centaine = 10 dizaines).
- Le marchand possède des cubes à l’unité et par centaines mais n’a plus de cubes par dizaines, ni par milliers.
Nous souhaitons avoir 1245 cubes. Que peut-on commander ?
- Le marchand possède des cubes à l’unité et par dizaines mais n’a plus de cubes par centaines, ni par milliers.
Nous souhaitons avoir 1245 cubes. Que peut-on commander ?
- Etc.
ETAPE 4 :
Variations dans les unités utilisées pour les décompositions
- Décomposer un nombre à quatre chiffres en centaines, dizaines et unités
- Décomposer un nombre à quatre chiffres en dizaines et unités
- Décomposer un nombre à quatre chiffres en milliers, dizaines et unités
- Etc.
Ou encore : écrire différentes décompositions du nombre 1234 …