Evaluation de fin de séquence
Pour faire le point sur les acquis des élèves après la séquence sur le millier nous vous proposons une évaluation finale à télécharger (pdf) sur les nombres à quatre chiffres.
Réinvestir dans d’autres domaines mathématiques
Nous proposons ici des possibilités de réinvestissement de la numération dans différents domaines mathématiques. Ce sont des occasions de plus pour renforcer la connaissance de la numération dans d’autres contextes, en lien avec d’autres connaissances.
1. Numération et calcul posé
Il est bien admis que la numération intervient dans le calcul posé, ne serait-ce par l’alignement vertical des chiffres de même valeur dans les différentes techniques. C’est alors l’aspect positionnel qui est en jeu : les unités s’écrivent au premier rang (à partir de la droite), les dizaines au deuxième rang, etc.
Mais l’aspect décimal est davantage caché (encore une fois) : il intervient dans la retenue de l’addition posée, mais qu’en est-il pour les autres techniques opératoires ? Nous expliquons ce lien entre les différentes techniques et l’aspect décimal de la numération dans les compléments ci-dessous.
Pour illustrer le travail nécessaire à faire avec les élèves sur la numération en lien avec la découverte d’une technique opératoire, nous proposons une situation de découverte de la soustraction posée (la technique choisie est la technique anglo-saxonne). On pourra alors noter l’importance du travail préparatoire sur la numération. La technique opératoire apparaît alors comme un moyen de disposer autrement les calculs (plus économique) que l’on faisait sur les unités de numération mais s’appuyant sur les mêmes propriétés.
Un exemple : une technique de soustraction posée
Savoir-faire : savoir calculer une soustraction posée.
Savoirs : Les principes de la numération.
Description : Comment enlever 5 centaines à une collection de 2 milliers et 3 centaines ? Par un échange d’un millier en 10 centaines afin d’obtenir 13 centaines (desquelles on peut alors soustraire 5 centaines). C’est ce principe qui est au cœur de la technique découverte ici.
2. Numération et calcul mental
La numération intervient également dans de nombreuses techniques de calcul mental. En voici quelques exemples caractéristiques.
Ajout/retrait de 10, 20, 30, … ou 100, 200, 300, … ou encore 1000, 2000, 3000, … : 4506 + 300 = … ? 1672 – 50 = … ? 3021 + 5000 = … ? etc.
Dans ces cas, seul le principe de position est en jeu puisqu’il s’ajouter/soustraire les chiffres des dizaines, centaines ou milliers.
Mais le principe décimal peut aussi être en jeu comme dans les exemples suivants : 6812 + 500 = … ? 6054 + 70 = … ? 4215 – 30 = … ?
Il faut alors voir dans 6812 les 68 centaines (car 6M = 60C) : on peut alors ajouter les 5 centaines de 500, soit 73 centaines, ce qui s’écrit 7312 (car 73C = 7M + 3C).
Multiplication par 10, 100, 1000 : 54×100 = … ? 65×10 = … ? 312×10 = … ? etc.
Ces calculs reviennent à faire des conversions entre unités. Par exemple calculer 54×100 c’est chercher combien d’unités on a avec 54 centaines. 54×100 = 5400 car 54C = 5M4C (car 50C = 5M, en utilisant le principe décimal), ce qui revient à dire que l’on écrit deux zéros à droite.
Le travail sur les multiplication par 10 et 1000 est également repris avec les grands nombres dans la situation « Plus vite que la calculatrice » mettant en jeu les relations entre unités et entre classes.
Exemples d’activité de calcul mental
Ce lien est déjà proposé dans les exercices et problèmes :
– multiplication par 10, 100, 1000 : .doc / .pdf
– situation de la boite et calcul mystère : .doc / .pdf
Mais il devra être travaillé régulièrement au cours de l’année pour que les techniques correspondantes puissent être automatisées.
3. Les relations entre numération et unités de mesures du système métrique
Pour cette partie nous nous appuyons sur l’article « Le système métrique au service de la numération et des grandeurs » de C.Chambris (2011).
Pour mieux comprendre les relations entre les unités du système métrique il est possible de les mettre en relation avec les unités de la numération. Cela permet en retour de renforcer la compréhension de notre système de numération.
Question : Les 4 exercices suivants sont-ils indépendants ? 1) Pour faire les photocopies de l’école, il faut 8564 feuilles de papier. Les feuilles sont vendues par paquets de 100. Combien de paquets faut-il acheter ? 2) Combien de sachets de 100 g de farine peut-on remplir avec un sac de 4 kg de farine ? 3) Le nombre de centaines de 8734 est … 4) 8 kg = …….hg |
Voici ce qu’en dit Chambris : « Ces quatre exercices peuvent être vus comme des exercices de numération travaillant la relation de millier à centaines. À ce titre, ils ont leur place dès le début du cycle 3 (sauf le 4e, pour lequel l’unité « hectogramme » doit être connue). Pour savoir qu’il s’agit du « même » exercice dans différents contextes, il importe d’y repérer la relation entre millier et centaines : un millier, c’est dix centaines ou dix centaines, c’est un millier ».
| « Trouver le nombre de centaines de 8734 consiste à trouver combien il y a de centaines dans 8734. Le 8 (4e position) indique 8 milliers qui sont aussi 80 centaines. Le 7 (3e position) indique 7 centaines. En tout, il y a donc 87 centaines. | De la même façon, trouver le nombre de paquets de 100 feuilles qu’il faut pour avoir 8564 feuilles revient à trouver combien il y a de centaines (100 feuilles, c’est une centaine de feuille, le 1 est en 3e position) dans 8563 feuilles. La technique de l’exercice précédent donne 85 centaines. Il faut bien sûr ajouter 1 paquet qui ne sera qu’entamé, soit 86 paquets. | Pour déterminer combien de fois de 100 g sont contenues dans 4 kg, on peut interpréter 4 kg comme 4 milliers de g et 100 g comme 1 centaine de g (1 en 3e position) puis convertir 4 milliers en centaines ou encore 100 g comme 1 hg et convertir les 4 kg en hg (cf. exercice 4). | Enfin, 8 kg = …. hg peut se traduire dans les unités de numération en 8 milliers de grammes à convertir en centaines de grammes, soit 8 milliers en centaines. Plus directement, sans faire appel explicitement à la relation de millier à centaines, on peut utiliser que « un kilogramme, c’est une dizaine d’hectogrammes » et donc que 8 kg sont 8 dizaines d’hg, soit 80 hg. » |
Remarque : « La signification des préfixes métriques d’origine grecque ou latine : déca – dix, hecto – cent, kilo – mille, déci – dix, centi – cent, milli – mille permet de repérer le rapport à l’unité. […] Connaître l’ordre de succession des unités peut aider à se souvenir de la signification des préfixes et permet aussi de percevoir rapidement la relation de dizaine entre deux unités métriques successives ou la relation de centaine (dizaine de dizaines) lorsqu’il y a une unité intermédiaire. Ainsi, 1 décimètre c’est une dizaine de centimètres, un centimètre c’est une dizaine de millimètres donc 1 décimètre c’est une centaine millimètres. »
Exemple d’activités
1. Des problèmes de commandes utilisant différentes grandeurs (longueurs, masse, contenance) sont proposés dans les exercices et problèmes de la situation des commandes : .doc / .pdf
2. Mais il y a un travail spécifique à faire sur le lien conversions en numération/conversions de mesures qui n’est pas fait dans l’exercice précédent. C’est à l’occasion du travail sur les conversions de mesures du système métrique que l’enseignant amènera ses élèves à faire les liens qui sont évoqués ci-dessus.
Par exemple lors d’un exercice sur les conversions comme celui-là : « convertir 3kg en grammes », on peut apprendre aux élèves de passer par la relation 1kg c’est un 1 millier de g, la conversion peut alors se traiter comme une question de numération : 3 milliers de g c’est 3000 g.
Tout d’abord des exercices nouveaux pour permettre aux élèves de se familiariser avec ce lien unités de numération/unités du système métrique :
Retrouve l’unité :
– 1 centaine de cm s’appelle un ………… .
– 1 millier de m s’appelle un …………
Etc.
Complète en utilisant les mots dizaine, centaine ou millier.
– 1 m c’est 1 …………. de mm.
– 1 m c’est 1 …………. de dm.
Etc.
Puis des exercices plus classiques de conversions entre unités, pour lesquels on va s’appuyer sur le travail précédent :
– 1kg 50g = … g ? Réponse : 1kg 50gc’est 1 millier de g et 5 dizaines de g soit 1050 g.
– 1200g = … kg … g ? Réponse : 1200g c’est 1 millier de g et 200g soit 1kg 200g.
Etc.
Pour mémoriser les relations entre unités du système métrique et faire le lien avec la numération des nombres entiers, on peut utiliser un tableau du type :
kilogrammes (kg) | grammes (g) | ||
| milliers de g | centaines de g | dizaines de g | g |
| 3 | 0 | 0 | 0 |
Remarque : on ne nomme pas les décagrammes et hectogrammes en CE2, conformément aux programmes en vigueur. Mais on peut parler de dizaines de g ou centaines de g.3.
Etendre l’apprentissage de la numération
Les connaissances travaillées dans la séquence sur le millier vont être prolongées, étendues, complétées lors du travail sur les grands nombres et sur les décimaux au cycle 3. Pour cela vous pouvez vous référez aux parties du site sur les grands nombres et sur les fractions et décimaux :
Une séquence sur les grands nombres (supérieurs à 10 000, millions, milliards)
Propositions pour enrichir la compréhensions des fractions et décimaux