Numération et calcul posé
Comment interviennent les savoirs de la numération dans les techniques de calcul posé usuelles ?
Une bonne compréhension de la numération est un point d’appui pour d’autres notions mathématiques de l’école, en particulier pour la compréhension du fonctionnement des techniques opératoires françaises usuelles de l’addition, la soustraction, la multiplication et de la division.
| L’addition posée |
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Quand on ajoute 345 à 582 en colonnes on obtient 12 dizaines qu’il faut ensuite convertir en 1 centaine et 2 dizaines. C’est donc la relation 10 dizaines = 1 centaine qui est ici en jeu (aspect décimal) mais aussi la position occupée par les centaines : le 3ème rang (aspect position). L’aspect décimal permet donc de justifier la retenue (comme illustré ci-dessous avec un matériel de numération) et l’aspect position permet de savoir quels unités sont ajoutées et de justifier l’alignement des chiffres en colonnes. |
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Avec le matériel :
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On obtient alors :
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Lien avec l’addition en ligne
D’ailleurs, une bonne connaissance des deux aspects de la numération décimale suffit pour calculer des sommes et des différentes en ligne (sans poser l’opération) : en effet 583 + 345 = (5 centaines + 8 dizaines + 3 unités) + (3 centaines + 4 dizaines + 5 unités) = 8 centaines + 12 dizaines + 8 unités = 9 centaines + 2 dizaines + 8 unités = 928. Cela est bien illustré avec le dessin ci-dessus.
Finalement, l’intérêt de la technique usuelle en colonne est qu’elle permet d’économiser des écritures ou d’éviter des ratures, mais ces deux techniques (posée ou en ligne) reposent sur le même principe.
| La soustraction posée |
Exemple : 753-85
Première technique : technique par emprunt.
Avec le matériel :
Comme on ne peut pas soustraire 5 cubes unités à 3 cubes unités, on échange 1 barre de 10 cubes contre 10 cubes unités.
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On poursuit ainsi l’algorithme …
Deuxième technique : technique usuelle
Avec le matériel :
Comme on ne peut pas soustraire 5 cubes unités à 3 cubes unités, on ajoute 10 cubes unités à la collection du haut, mais pour ne pas changer la différence on ajoute aussi 10 cubes à la collection du bas mais cette fois groupés en une barre de 10 cubes.
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On poursuit ainsi l’algorithme …
NB : Nous nous appuyons ici sur quelques extrait du document d’accompagnement des programmes de 2002 : le calcul posé.
| La multiplication posée |
Multiplication par un nombre à un chiffre
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Exemple 543 × 6. C’est l’aspect décimal qui permet également de comprendre la signification des retenues. Dans l’exemple ci-contre, pour le cas de la multiplication par un nombre à 1 chiffre, on utilise une décomposition de 543 en 5 centaines + 4 dizaines + 3 unités et on multiplie par 6 chacun des trois termes. Cela fait alors intervenir les relations entre les unités au niveau des retenues comme on le voit dans les explications des étapes qui sont indiquées. |
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Avec le matériel :
6 fois 3 cubes unités c’est 18 cubes unités soit 1 barre de 10 cubes et 8 cubes isolés.
Etc.
Multiplication par 10, 100, 1000 …
Les deux aspects de la numération sont également en jeu pour justifier la règle de multiplication par 10, 100, … (la « règle des zéros »).
Exemple : 12 × 100
12 × 100 = 3200 pourrait être décrit comme : « on ajoute les deux zéros de 100 à droite de 12 », mais cela relève alors plus d’une recette de cuisine que de mathématiques !
Pourquoi 12 × 100 s’écrit-il 32 avec deux zéros derrière ?
En fait 12 × 100 c’est 12 centaines. Mais alors pourquoi 12 centaines s’écrit-il 12 avec deux zéros derrière ?
Il faut repasser par le fait que 12 centaines c’est 1 millier et 2 centaines (car 10 centaines = 1 millier, c’est l’aspect décimal), cela s’écrit donc 1200 (car 1 millier et 2 centaines c’est un 1 au rang des milliers et un 2 au rang des centaines, c’est l’aspect position).
Avec le matériel :
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12 centaines de cubes c’est 1 millier de cubes de 2 centaines de cubes, soit 1200 cubes.
Cela intervient aussi dans la technique de la multiplication posée, mais cette fois dans le cas de la multiplication par un nombre à plusieurs chiffres.
Multiplication par un nombre à plusieurs chiffres
Exemple 543 × 26.
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On utilise une décomposition de 26 en 2 dizaines + 6 unités. 543 × 26 = 543 × (2 dizaines + 6 unités) = 543 × (2 dizaines) + 543 × (6 unités) = (543 × 2) dizaines + (543 × 6) unités. On retrouve donc deux multiplications par des nombres à 1 chiffre, pour lesquelles on va utiliser la technique posée par un nombre à un chiffre, puis ajouter les deux résultats. Cependant comme la première multiplication donne un nombre de dizaines, nous écrirons un 0 à droite de se nombre pour le convertir en unités. L’aspect décimal intervient également dans la gestion des retenues pour l’addition finale. |
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On retrouve ici la même justification que pour la règle de multiplication par 10, 100 …
| La division posée |
Exemple
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Pour la division posée : cela nous permet de comprendre les différentes étapes de la division et en particulier de déterminer le nombre de chiffres du quotient. Exemple : 1234 divisé par 5 Nombre de chiffres du quotient Dans la division de 1 234 par 5, comme on commence par faire la division de 12 par 5, il faut savoir que le 12 de 1234 correspond à 12 centaines. Or dans 12 centaines il y a 5 fois 2 centaines et il reste 2 centaines. Le premier chiffre du quotient de la division est donc un 2 au rang des centaines. Le quotient de la division sera donc un nombre à 3 chiffres. On abaisse … Ensuite on dit souvent « on abaisse » le 3. En effet, il faut maintenant diviser par 5 les 2 centaines qui restent : comme on ne peut pas, on va échanger ces 2 centaines contre 20 dizaines et les ajouter aux 3 dizaines de 1234, ce qui fait 23 dizaines à diviser par 5. Le fait d’abaisser le 3 permet de faire apparaître ces 23 dizaines. |
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Avec le matériel : Pour partager 12 centaines de cubes en 5 personnes (par exemple) il faut donner 2 centaines de cubes et il reste 2 centaines. On échange ces 2 centaines contre 20 dizaines :
Cela fait donc 23 dizaines à partager en 5. On poursuit ainsi l’algorithme … |
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Dans 23 dizaines, il y a 5 fois 4 dizaines et il reste 3 dizaines. On échange ces 3 dizaines contre 30 unités. Il y a donc 34 unités à partager en 5 : cela fait 6 unités et il reste 4 unités. Donc 1234 = 5 x 246 + 4. Ecriture en ligne : En fait pour diviser 1234 par 5, on utilise une décomposition de 1234 en 12 centaines + 3 dizaines + 4 unités : 12 centaines = 5× 2 centaines + 2 centaines 2 centaines + 3 dizaines = 23 dizaines 23 dizaines = 5 × 4 dizaines + 3 dizaines 3 dizaines + 4 unités = 34 unités 34 unités = 5× 6 unités + 4 unités Finalement, 1234 unités = 5 × (2 centaines + 4 dizaines + 6 unités) + 4 unités = 5 × 246 unités + 4 unités. |
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Pour expliquer les étapes de l’algorithme aux élèves il peut être utile d’utiliser une « feuille de partage » (ERMEL, Cap Maths, éditions Hatier) :
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Numération et grandeurs et mesures du système métrique
Les relations entre numération et unités de mesures du système métrique
Pour cette partie nous nous appuyons sur l’article suivant.
Chambris, C. (2012) Le système métrique au service de la numération des entiers et des grandeurs. in Durpaire, J.L. & Mégard, M. eds, Le nombre au cycle 3 (pp.13-30), France : SCEREN CNDP-CRDP
Les relations entre numération et unités de mesures du système métrique
Pour mieux comprendre les relations entre les unités du système métrique il est possible de les mettre en relation avec les unités de la numération. Cela permet en retour de renforcer la compréhension de notre système de numération.
Question : Les 4 exercices suivants sont-ils indépendants ? 1) Pour faire les photocopies de l’école, il faut 8564 feuilles de papier. Les feuilles sont vendues par paquets de 100. Combien de paquets faut-il acheter ? 2) Combien de sachets de 100 g de farine peut-on remplir avec un sac de 4 kg de farine ? 3) Le nombre de centaines de 8734 est … 4) 8 kg = …….hg |
Voici ce qu’en dit Chambris : « Ces quatre exercices peuvent être vus comme des exercices de numération travaillant la relation de millier à centaines. À ce titre, ils ont leur place dès le début du cycle 3 (sauf le 4e, pour lequel l’unité « hectogramme » doit être connue). Pour savoir qu’il s’agit du « même » exercice dans différents contextes, il importe d’y repérer la relation entre millier et centaines : un millier, c’est dix centaines ou dix centaines, c’est un millier ».
| « Trouver le nombre de centaines de 8734 consiste à trouver combien il y a de centaines dans 8734. Le 8 (4e position) indique 8 milliers qui sont aussi 80 centaines. Le 7 (3e position) indique 7 centaines. En tout, il y a donc 87 centaines. | De la même façon, trouver le nombre de paquets de 100 feuilles qu’il faut pour avoir 8564 feuilles revient à trouver combien il y a de centaines (100 feuilles, c’est une centaine de feuille, le 1 est en 3e position) dans 8563 feuilles. La technique de l’exercice précédent donne 85 centaines. Il faut bien sûr ajouter 1 paquet qui ne sera qu’entamé, soit 86 paquets. | Pour déterminer combien de fois de 100 g sont contenues dans 4 kg, on peut interpréter 4 kg comme 4 milliers de g et 100 g comme 1 centaine de g (1 en 3e position) puis convertir 4 milliers en centaines ou encore 100 g comme 1 hg et convertir les 4 kg en hg (cf. exercice 4). | Enfin, 8 kg = …. hg peut se traduire dans les unités de numération en 8 milliers de grammes à convertir en centaines de grammes, soit 8 milliers en centaines. Plus directement, sans faire appel explicitement à la relation de millier à centaines, on peut utiliser que « un kilogramme, c’est une dizaine d’hectogrammes » et donc que 8 kg sont 8 dizaines d’hg, soit 80 hg. » |
Remarque : « La signification des préfixes métriques d’origine grecque ou latine : déca – dix, hecto – cent, kilo – mille, déci – dix, centi – cent, milli – mille permet de repérer le rapport à l’unité. […] Connaître l’ordre de succession des unités peut aider à se souvenir de la signification des préfixes et permet aussi de percevoir rapidement la relation de dizaine entre deux unités métriques successives ou la relation de centaine (dizaine de dizaines) lorsqu’il y a une unité intermédiaire. Ainsi, 1 décimètre c’est une dizaine de centimètres, un centimètre c’est une dizaine de millimètres donc 1 décimètre c’est une centaine millimètres. »
Liens avec les propositions du site
1. Des problèmes de commandes utilisant différentes grandeurs (longueurs, masse, contenance) sont proposés dans les exercices et problèmes de la situation des commandes : .doc / .pdf
2. Mais il y a un travail spécifique à faire sur le lien conversions en numération/conversions de mesures qui n’est pas fait dans l’exercice précédent. C’est à l’occasion du travail sur les conversions de mesures du système métrique que l’enseignant amènera ses élèves à faire les liens qui sont évoqués ci-dessus.
Par exemple lors d’un exercice sur les conversions comme celui-là : « convertir 3kg en grammes », on peut apprendre aux élèves de passer par la relation 1kg c’est un 1 millier de g, la conversion peut alors se traiter comme une question de numération : 3 milliers de g c’est 3000 g.
Tout d’abord des exercices nouveaux pour permettre aux élèves de se familiariser avec ce lien unités de numération/unités du système métrique :
Retrouve l’unité :
– 1 centaine de cm s’appelle un ………… .
– 1 millier de m s’appelle un …………
Etc.
Complète en utilisant les mots dizaine, centaine ou millier.
– 1 m c’est 1 …………. de mm.
– 1 m c’est 1 …………. de dm.
Etc.
Puis des exercices plus classiques de conversions entre unités, pour lesquels on va s’appuyer sur le travail précédent :
– 1kg 50g = … g ? Réponse : 1kg 50gc’est 1 millier de g et 5 dizaines de g soit 1050 g.
– 1200g = … kg … g ? Réponse : 1200g c’est 1 millier de g et 200g soit 1kg 200g.
Etc.
Pour mémoriser les relations entre unités du système métrique et faire le lien avec la numération des nombres entiers, on peut utiliser un tableau du type :
kilogrammes (kg) | grammes (g) | ||
| milliers de g | centaines de g | dizaines de g | g |
| 3 | 0 | 0 | 0 |
Remarque : on ne nomme pas les décagrammes et hectogrammes en CE2, conformément aux programmes. Mais on peut parler de dizaines de g ou centaines de g.
Numération et calcul mental
La numération intervient dans de nombreuses techniques de calcul mental. En voici quelques exemples caractéristiques.
Ajout/retrait de 10, 20, 30, … ou 100, 200, 300, … ou encore 1000, 2000, 3000, … : 4506 + 300 = … ? 1672 – 50 = … ? 3021 + 5000 = … ? etc.
Dans ces cas, seul le principe de position est en jeu puisqu’il s’ajouter/soustraire les chiffres des dizaines, centaines ou milliers.
Mais le principe décimal peut aussi être en jeu comme dans les exemples suivants : 6812 + 500 = … ? 6054 + 70 = … ? 4215 – 30 = … ?
Il faut alors voir dans 6812 les 68 centaines (car 6M = 60C) : on peut alors ajouter les 5 centaines de 500, soit 73 centaines, ce qui s’écrit 7312 (car 73C = 7M + 3C).
Multiplication par 10, 100, 1000 : 54×100 = … ? 65×10 = … ? 312×10 = … ? etc.
Ces calculs reviennent à faire des conversions entre unités. Par exemple calculer 54×100 c’est chercher combien d’unités on a avec 54 centaines. 54×100 = 5400 car 54C = 5M4C (car 50C = 5M, en utilisant le principe décimal), ce qui revient à dire que l’on écrit deux zéros à droite.
Le travail sur les multiplication par 10 et 1000 est également repris avec les grands nombres dans la situation « Plus vite que la calculatrice » mettant en jeu les relations entre unités et entre classes.
Liens avec les propositions du site
Des exercices et problèmes sont proposés sur le site sur les milliers et sur les grands nombres.
Pour les milliers :
– multiplication par 10, 100, 1000 : .doc / .pdf
– situation de la boite et calcul mystère : .doc / .pdf
Pour les grands nombres : situation « Calculateurs prodiges ! »