Etape 1. Combien de carreaux ?
Il s’agit d’une situation d’introduction des grands nombres par le dénombrement d’une grande collection (carreaux d’une feuille de papier millimétré) pour donner un premier ordre de grandeur du million et pour que les élèves comprennent que le principe des groupements successifs par 10 se prolonge pour les nombres supérieurs à 9999 (étudiés en cycle 2). Les élèves apprennent à associer les rangs de l’écriture chiffrées aux différentes unités (dizaines de milliers, centaines de milliers, millions, etc.) et découvrent les relations entre ces nouvelles unités : 10 milliers font 1 dizaine de milliers, 10 dizaines de milliers font 1 centaine de millier et 10 centaines de milliers font 1 million…
A la fin de ces deux séances tous les élèves doivent avoir mémorisé la position des différentes unités dans l’écriture en chiffres. Pour cela il ne faut pas utiliser systématiquement le tableau de numération : il sert principalement lors des moments de synthèse mais les élèves n’en ont pas à leur disposition.
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Programmes 2016 Utiliser et représenter les grands nombres entiers: – Composer, décomposer les grands nombres entiers en utilisant des groupements par milliers. »Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et leurs relations. – Comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres (jusqu’à 12 chiffres). |
Séance 1 (55 minutes à 1h)
Matériel :
Des calculatrices (une par groupe). Des feuilles de papier millimétré : au moins 25 feuilles (cf. fiche à imprimer). Une feuille blanche pour chaque groupe. Fiche de synthèse sur les unités (cf. fiche).
Le tableau de numération n’est pas affiché dans la classe au début de la séance, il va se construire progressivement au cours des deux premières séances. Pour le moment il s’agit d’un tableau ne faisant apparaître que les rangs (pas les classes).
Phase 1 : Appropriation. 7 min
Constituer les groupes de deux élèves (de niveaux homogènes).
Faire passer la consigne 1 : Vous disposez de deux feuilles devant vous. La feuille blanche sert à écrire votre résultat et à expliquer à vos camarades comment vous avez résolu le problème. Vous avez une feuille sur laquelle il y a beaucoup de petits carrés (montrer aux élèves ce qu’est un « petit carré » pour ne pas le confondre avec les grands carrés composés de 100 petits carrés). Est-ce que vous avez une idée du nombre de petits carrés qu’il y a sur cette feuille ?
Les élèves peuvent commencer par faire font des prévisions à l’oral. Ils parlent de mille, dix mille, cent mille, de millions, voire de milliards …
Écrire quelques prévisions en lettres pour pouvoir s’y référer lors de la mise en commun.
Faire passer la consigne 2 : Maintenant vous allez devoir trouver exactement combien il y a de petits carrés sur toute cette feuille. Vous écrirez le nombre sur votre feuille de recherche. Vous avez le droit d’utiliser la calculatrice (si la classe n’est pas équipée, les élèves peuvent faire du calcul posé).
NB : la réponse attendue (avec la feuille de papier millimétrée donnée) est 280 x 190 = 53200.
Phase 2 : Recherche, par binômes, 13 min
2.1 Recherche en binômes, 4 min
Observer les procédures utilisées par les élèves.
Procédures attendues :
– Dénombrement des carrés un par un : c’est trop long, il faut trouver un moyen de s’organiser. Les élèves peuvent repérer des plus grands carrés de 10 sur 10 (donc de 100 petits carrés), ce qui peut leur permettre :
– Repérer des plus grands carrés de 10 sur 10 (donc de 100 petits carrés) et compter de cent en cent, les élèves peuvent repérer des plus grands carrés de 10 sur 10 (donc de 100 petits carrés)
– dénombrer les grands carrés de 10 sur 10 puis multiplier par 100 le nombre obtenu. Mais le dénombrement est encore fastidieux.
– dénombrer les carrés sur la longueur et la largeur de la feuille (en s’aidant des grands carrés de 10 sur 10) et utiliser la multiplication de ces deux nombres pour calculer le nombre total de carrés.
2.2 Relance collective, 4 min
Pour éviter que certains élèves ne s’enferment dans une longue procédure de comptage des carrés par un ou par cent, organiser une courte discussion collective en faisant remarquer qu’il est trop long de tout compter de un en un ou de cent en cent et qu’il faut trouver une méthode plus rapide.
Rappeler alors aux élèves qu’ils peuvent utiliser la calculatrice.
Relancer les élèves dans la recherche en leur demandant de trouver une méthode rapide.
Indiquer aux groupes les plus rapides qu’ils doivent expliquer leur démarche sur leur feuille de recherche en vue d’expliquer aux autres ensuite.
2.3 Reprise de la recherche, en binôme, 5 min
Les élèves terminent leur recherche et écrivent le nombre sur leur feuille. Les plus rapides écrivent sur leur feuille leur démarche et leurs calculs.
Les différentes procédures (cf ci-dessus) aboutissent à différents calculs :
– 190+190+190 ….. ou 280+280+280…
– 19 x 100 = 1900 et 1900 x 28 = 53200
– 28 x100 = 2800 et 2800 x 19 = 53200
– 190 x 280 = 53200
– 19 x 28 = 532 et 532 x 100 = 53200
– …
Phase 3 : Mise en commun des procédures, collectif, 8 min
Consigne : Quelques élèves vont venir nous présenter leur résultat et leur méthode pour trouver le nombre de carrés. Les autres vous devez écouter et dire si vous êtes d’accord.
Au cours de cette mise en commun il est important de ne pas dire le nom des nombres à l’oral (pour le moment), même si certains élèves savent le faire. Quand on écrit des nombres au tableau on ne marque pas l’espace entre les classes : on fait un petit espace entre chaque rang : 5 3 2 0 0.
Commencer par un groupe qui n’a pas été au bout ou qui a fait une erreur et aller vers des procédures de plus en plus rapides. Quand les élèves indiquent leurs calculs (comme 28×19 par exemple), leur demander d’expliquer à quoi correspondent chacun des nombres (par exemple 28 et 19 sont le nombre de grands carrés sur la longueur et la largeur). Poursuivre la mise en commun avec des procédures de plus en plus rapides.
Phase 4 : Une première synthèse, collectif, 5 min
Demander aux élèves si on a atteint « un million », comme certains l’avaient prédit. Montrer le nombre 5 3 2 0 0 et interroger les élèves sur la valeur du 2, du 3 puis du 5.
Présenter alors l’illustration de ces différentes unités avec le papier millimétré (cf. fiche) et définir une nouvelle unité, la dizaine de millier :
– 1 dizaine de milliers = 10 milliers.
– les dizaines de milliers s’écrivent au 5ème rang à partir de la droite dans l’écriture en chiffres. Illustrer cela en ajoutant une nouvelle colonne dans le tableau de numération (tableau en rangs seulement pour le moment, pas en classes). Expliquer l’abréviation utilisée dans le tableau : DM pour dizaines de mille.
– donc 1 dizaine de milliers s’écrit 10000 (4 zéros). Ce nombre se dit « dix-mille ».
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DM |
M |
C |
D |
U |
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|
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Phase 5 : présentation du nouveau problème, collectif, 3 min
L’enseignant rappelle que des élèves avaient proposé « un million » de petits carrés sur la feuille.
Consigne : Combien faudrait-il de feuilles de papier millimétré pour avoir un million de petits carrés ?
NB : la réponse attendue (avec la feuille de papier millimétrée fournie) est 19 feuilles car 19 x 53200 = 1 010 800 (alors que 18 x 53200 = 957 600).
Phase 6 : recherche, binômes, 10 min
6.1 Recherche en binômes, 3 min
Certains élèves ne savent pas comment s’écrit un million en chiffres et sont vite bloqués. Ne pas leur donner tout de suite la réponse : les laisser s’interroger.
6.2 Relance collective, 2 min
Au bout de 2 ou 3 minutes faire un bilan sur l’écriture de « un million » en chiffres. Préciser que le nombre 1 0 0 0 0 0 (proposé par certains élèves) est égal à « une centaine de milliers » et que « un million » s’écrit « 1 0 0 0 0 0 0 ». Ecrire ce nombre au tableau (avec un espace entre chaque chiffre). Indiquer qu’il y a 6 zéros.
6.3 Reprise de la recherche, en binôme, 5 min
Avec leur calculatrice, les élèves peuvent faire des additions répétées ou essais de multiplications en partant du nombre de carrés par feuilles (53200) ou bien partir de 1000000 et faire des soustractions successives ou une division.
Les procédures d’addition ou de soustraction sont très fastidieuses et ils risquent de ne pas aller au bout ou bien de faire des erreurs dans le dénombrement du nombre d’additions ou soustractions réalisées.
Phase 7 : Mise en commun, collectif, 5 min
Comme pour la mise en commun de la séance précédente, l’enseignant s’attache à ne pas dire le nom des nombres à l’oral, même si certains élèves savent le faire. Quand il écrit des nombres au tableau il ne marque pas l’espace entre les classes.
Consigne : J’ai choisi quelques (deux ou trois) élèves qui vont venir nous présenter la façon dont ils ont cherché le nombre de carrés et ce qu’ils ont trouvé. Les autres vous devez écouter et dire si vous êtes d’accord avec la méthode et avec le résultat.
Quand la classe est d’accord sur les 19 feuilles il demande aux élèves le nombre de carrés en trop sur la dernière feuille (10800). Il découpe alors ces carrés dans la dernière feuille et construit un affichage du million avec ces 19 feuilles (dont la dernière est amputée de 10800 carrés) qui servira à la synthèse (début de séance suivante).
Phase 8 : synthèse sur la centaine de milliers et le million, en collectif, 10 min
Rappeler les nouveaux nombres rencontrés en écrivant 1 0 0 0 0 0 et 1 0 0 0 0 0 0 au tableau.
Définir alors une nouvelle unité en appui sur une collection de 10 groupes de 10 000 :
– 1 centaine de milliers = 10 dizaines de milliers.
– les centaines de milliers s’écrivent au 6ème rang à partir de la droite dans l’écriture en chiffres. Cela est illustré en ajoutant une nouvelle colonne dans le tableau de numération (tableau en rangs seulement pour le moment, pas en classes). Expliquer l’abréviation utilisée dans le tableau : CM pour centaines de mille.
– donc 1 centaine de milliers s’écrit 100000 (5 zéros) et se dit « cent-mille »
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CM |
DM |
M |
C |
D |
U |
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Ensuite, en appui sur la représentation du million que la classe vient de construire, définir la nouvelle unité « million » :
– 1 million = 10 centaines de milliers.
– les millions s’écrivent au 7ème rang à partir de la droite dans l’écriture en chiffres. Cela est illustré en ajoutant une nouvelle colonne dans le tableau de numération (tableau en rangs seulement pour le moment, pas en classes). Expliquer l’abréviation utilisée dans le tableau : pour million. Dans la classe nous écrivons un M avec une barre horizontale au-dessus, mais ci-dessous nous écrivons MM car le M avec une barre n’est pas un caractère disponible pour ce site.
– donc 1 million s’écrit 1000000 (6 zéros) et se dit « un-million »
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MM
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CM |
DM |
M |
C |
D |
U |
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Séance 2 (55 minutes environ)
Matériel
Affiche des groupements de la séance précédente.
Affiche du tableau de numération de la séance précédente (ou bien tracé au tableau).
Phase 1 : rappels, collectifs, 8 min
1.1 Rappel de la séance précédente
Faire rappeler le travail de la séance précédente en appui sur les affichages (les différents groupements).
1.2 Jeu du furet oral sur l’ordre des unités. L’enseignant commence à dire « unité », un élève poursuit avec « dizaine », un autre avec « centaine », etc.
Le but est que les élèves mémorisent l’ordre des unités : U, D, C, M, DM, CM, .
Variante : à l’envers.
Phase 2 : jeu du « qui est-ce ? », dénombrements sans conversion, 30 min
L’objectif est de permettre aux élèves de s’approprier le rang de chaque unité (notamment, dizaines de mille, centaines de mille, million, …) dans l’écriture en chiffres.
2.1 Présentation du problème
Laisser l’affiche des différents groupements au tableau.
Ecrire un nombre en chiffres (par exemple 3 0 4 7 2 0 4) au dos du tableau (ou sur une ardoise) de telle façon qu’il ne peut pas être vu par les élèves.
Dire aux élèves qu’il va falloir retrouver le nombre mystère à partir des informations données.
En montrant les affiches correspondantes (millions, centaines de milliers, …) :
– donner une description orale du nombre en unités. Par exemple : « pour faire ce nombre de carrés il faudrait utiliser 3 millions de carrés (montrer l’affiche correspondant à 3 millions), 4 dizaines de milliers de carrés (idem), 7 milliers de carrés (idem), 2 centaines de carrés et 4 carrés ».
– et écrire ce nombre avec des abréviations au tableau : 3 4DM 7M 2C 4U.
Dire aux élèves qu’ils doivent alors écrire en chiffres le nombre mystère sur leur ardoise.
Nombres proposés :
– 3 0 4 7 2 0 4 puis 1 0 9 0 0 7 0 0 puis 8 0 4 0 0 3 0 0 0, en énonçant les unités de la plus grande à la plus petite (3 millions, 4 dizaines de milliers, …)
– 4 0 0 7 0 5 1 puis 3 0 9 0 0 0 5 0 en énonçant les unités de la plus petite à la plus petite (1 unité, 5 dizaines, …)
– 5 0 1 2 0 0 7 0 en énonçant les unités dans le désordre (2 dizaines de milliers, 5 dizaines de millions, 7 dizaines, 1 centaine de milliers)
NB : Les nombres sont choisis avec des zéros à certains rangs pour amener les élèves à utiliser le 0 pour marquer la position des chiffres non nuls.
2.2 Recherche individuelle
Les élèves écrivent le nombre en chiffres sur leur ardoise.
Exemples de réponses erronées pour 4 0 0 7 0 5 1 (énoncé dans l’ordre croissant des unités) :
– 1 5 7 4 (juxtaposition des nombres d’unités, sans prise en compte de l’ordre des unités)
– 4 7 5 1 (juxtaposition des nombres d’unités, avec prise en compte de l’ordre des unités)
2.3 Discussion collective.
Recueillir les différentes réponses au tableau (ardoise ou réécriture des nombres par l’enseignant).
Faire échanger les élèves sur leur validité : ils doivent se mettre d’accord sur une seule réponse. Les discussions vont amener à utiliser la valeur des chiffres dans l’écriture. Le tableau de numération (toujours en rangs pour le moment, pas en classes) peut aider.
Exemple : un élève écrit 4 7 5 1 pour « 1 unité, 5 dizaines, 7 milliers, 4 millions », on peut interroger un autre élève sur la valeur de ce 4 : pour avoir 4 millions il faut avoir 6 chiffres à sa droite (ou bien que le 4 soit au 7ème rang).
Une fois tout le monde d’accord, montrer le nombre mystère en retournant le tableau (ou l’ardoise) et comparer les deux écritures (il n’est pas utile de lire le nombre pour le moment : l’objectif étant de travailler la relation entre les différentes unités et l’écriture en chiffres).
Poursuivre l’activité avec un autre nombre.
Phase 3 : Eléments de synthèse, rappels, 8 min
Définir les nouvelles unités rencontrées et poursuivre jusqu’aux centaines de millions (CM2 : centaines de milliard) :
– 1 dizaine de milliers = 10 milliers, 1 centaine de milliers = 10 dizaines de milliers, 1 million = 10 centaines de milliers, 1 dizaine de millions = 10 millions, 1 centaine de millions = 10 dizaines de millions.
– Les dizaines de milliers s’écrivent au 5ème rang à partir de la droite, les centaines de milliers au 6ème rang, les millions au 7ème rang, les dizaines de millions au 8ème rang, les centaines de millions au 9ème rang
Exemple : 5C 1 4CM 3M 8U = 1 403 008
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CMM |
DMM |
MM
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CM |
DM |
M |
C |
D |
U |
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Centaine de millions |
Dizaine de millions |
Million |
Centaine de milliers |
Dizaine de milliers |
Millier |
Centaine |
Dizaine |
Unité |
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5 |
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1 |
4 |
|
3 |
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8 |
CM2 : ajouter les milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
NB : le tableau de numération est construit progressivement : pour le moment il ne contient que les unités, ce qui correspond à l’extension du système d’écriture des nombres en chiffres au-delà du millier. Le tableau avec les classes sera institutionnalisé lors de la prochaine étape.
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Trace écrite Les unités des grands nombres. – 1 dizaine de milliers = 10 milliers, – 1 centaine de milliers = 10 dizaines de milliers, – 1 million = 10 centaines de milliers, – 1 dizaine de millions = 10 millions, – 1 centaine de millions = 10 dizaines de millions.
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CM2 : ajouter les milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
Phase 4 : Exercices d’entraînement, individuel, 10 min
Exercice. Complète le tableau.
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Ecriture en unités |
Ecriture en chiffres |
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2 dizaines, 7 dizaines de milliers et 5 millions |
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8 centaines de milliers |
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9 unités, 8 centaines, 4 milliers, 1 centaine de milliers et 6 millions |
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3 dizaines de milliers et 6 dizaines de millions |
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7 millions et 2 centaines de milliers |
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5 centaines de millions |
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5 milliers, 3 millions et 1 dizaine de millions |
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1 centaine de millions, 7 centaines de milliers |
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4 000 000 |
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6 030 004 |
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70 100 000 |
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900 650 020 |
CM2 : ajout de cas avec milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
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Ecriture en unités |
Ecriture en chiffres |
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5 milliards 7 millions |
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8 centaines de milliards |
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2 centaines, 7 milliers, 3 centaines de milliards |
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5 dizaines de millions et 9 dizaines de milliards |
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8 millions et 2 centaines de milliards |
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3 000 000 000 |
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|
70 300 000 |
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600 000 008 000 |
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9 002 005 000 |
Prolongement : dénombrement avec des conversions entre unités
Il s’agit du même problème de dénombrement que dans la séance 2, mais avec plus de dix unités à certains ordres pour mettre en jeu les relations entre unités.
Exemples :
– 25 dizaines milliers de carrés, 4 centaines de milliers de carrés et 6 millions de carrés
– 7 C, 2 M, 43 CM et 1
– 4 , 5 CM, 32 DM, 1 C et 7 U
– …
Choix des collections à dénombrer : plus de 10 unités à certains ordres, des nombres importants d’unités (supérieurs à 30 ou 40) pour rendre très couteuses les procédures s’appuyant sur un dessin. On privilégie les cas avec une seule conversion au début.
CM2 : ajouter des cas avec milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
Pour la mise en commun des réponses des élèves utiliser l’affiche des différents groupements pour rappeler les relations entre unités (groupements successifs par 10).
NB : Il n’est pas utile de lire le nombre dans cette situation : l’objectif étant de travailler la relation entre les différentes unités et l’écriture en chiffres.
Etape 2. Les millions : la classe !
On peut considérer la lecture des grands nombres comme une décomposition particulière des grands nombres (en millions, milliers et unités). Pour amener les élèves à comprendre le fonctionnement de la numération parlée ils travailleront donc sur des décompositions variées de grands nombres (séance 3) par un jeu de commandes. Puis dans la séance 4 ils apprendront à lire des grands nombres (écriture en chiffres → oral) et à les écrire en chiffres (écriture en chiffres → écriture en lettres) dans un jeu de communication. Ces différentes étapes doivent permettre aux élèves de dépasser cette principale difficulté : l’écriture des 0 qui ne s’entendent pas. La classe des millions et les espaces entre les classes dans l’écriture chiffrée ne sont introduits qu’en fin de séance 4.
Programmes 2016 Utiliser et représenter les grands nombres entiers: – Composer, décomposer les grands nombres entiers en utilisant des groupements par milliers. »Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et leurs relations. – Comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres (jusqu’à 12 chiffres). |
Séance 1 (55 minutes à 1h)
Objectif : Connaître et utiliser les relations entre milliers, dizaines de milliers, centaines de milliers et millions (CM2 : jusqu’aux centaines de milliards). Savoir décomposer un nombre selon différentes unités.
Matériel
Affiches des séances précédentes avec le papier millimétré (unité, dizaines, …, million).
Une ardoise pour chaque élève.
Phase 1 : Jeu de commande sans contrainte (rappel des connaissances de l’étape 1), 10 min
1.1 Présentation de la situation
Rappeler et montrer aux élèves les différents groupements obtenus lors du dénombrement des carrés de feuilles de papier millimétré : unité, dizaine, centaine … jusqu’à un million (19 feuilles dont la dernière est amputée de quelques carrés).
Ecrire au tableau le premier nombre : 1 0 5 0 6 8 0.
Dire aux élèves qu’il va falloir qu’ils commandent à l’enseignant ce qu’il faut d’unités, de dizaines, de centaines, … pour faire le nombre de carrés demandés. Pour cela ils écrivent sur leur ardoise en utilisant les abréviations U, D, C, M, DM, CM, , D , C (et CM2 : , D , C ).
Nombres proposés : 1 0 5 0 6 8 0 puis 5 7 0 0 6 1 0 0 (CM2 : 2 0 0 3 0 0 6 0 0 0 puis 4 0 8 0 0 1 0 0 3 0 0)
1.2 Recherche individuelle
Les élèves écrivent leur commande en unités sur leur ardoise.
NB : cacher le tableau de numération pendant la recherche et la discussion. Il peut être ressorti si besoin mais ne doit pas être systématiquement visible.
1.3 Discussion collective.
Recueillir différentes réponses au tableau (ardoise ou réécriture des nombres par l’enseignant).
Les élèves doivent se mettre d’accord sur une seule réponse. Les discussions doivent amener à rappeler la valeur des chiffres dans l’écriture. Le tableau de numération (toujours en rangs pour le moment, pas en classes) peut aider.
NB : Quand l’enseignant écrit un nombre au tableau il marque un espace entre chaque chiffre (pour le moment les classes ne sont pas matérialisées par un espace). Le nombre n’est pas oralisé (le travail sur la façon de lire le nombre est l’objet de la partie suivante). Le tableau de numération est caché.
Phase 2 : Jeu de commande avec contraintes. Introduction des décompositions en unités, milliers et millions. 20 min
2.1 Présentation du nouveau problème
Dire aux élèves que maintenant pour faire la collection de carrés ils ne vont plus pouvoir utiliser certaines unités, qui ne sont pas disponibles.
Ecrire le premier nombre au tableau : 2 4 0 0 6 0 0.
Dire aux élèves qu’ils ne pourront pas utilisés le groupement de « un million de carrés ». Il va donc falloir qu’ils commandent ce qu’il faut d’unités, de dizaines, de centaines, …, de centaines de milliers pour faire le nombre de carrés demandés. Pour cela ils écrivent sur leur ardoise en utilisant les abréviations U, D, C, M, DM, CM, …
Nombres proposés :
– 2 4 0 0 6 0 0 puis 7 2 5 0 0 0 0 avec la contrainte « pas de carrés par millions »
– 5 6 5 0 0 8, 2 1 0 5 0 8 6 puis 3 5 0 0 2 7 1 0 avec la contrainte « seulement des unités, milliers et millions de disponibles »
Adaptation CM2 : 7 2 5 0 0 0 0 avec la contrainte « pas de carrés par millions », 5 2 0 0 0 0 3 0 0 0 avec la contrainte « pas de carrés par milliards » puis 1 5 0 2 3 0 0 0 0 0 0 et 6 7 0 0 0 5 0 2 0 0 avec la contrainte « seulement des unités, milliers, millions et milliards de disponibles »
NB : cacher le tableau de numération pendant la recherche et la discussion. Il peut être ressorti si besoin mais ne doit pas être systématiquement visible.
2.2 Recherche individuelle
Remarque : ici pas de tableau de numération, ni à montrer, ni à disposition des élèves.
Les élèves écrivent leur commande en unités sur leur ardoise.
Exemples de propositions d’élèves pour 5 6 5 0 0 8 en utilisant des unités, milliers et millions :
– Correctes : 565M 8U
– Correctes mais non attendues ici : 0MM 565M 8U ou 565M 008U (l’écriture des zéros est inutile), 560M 5008U ou 565 008U ou 500M 65008U (écritures non minimales : l’enseignant précisera dans la mise en commun qu’il faut utiliser le moins possible d’unités, de milliers et de million pour faciliter la commande).
– Erronées : 5MM 65M 8U,
2.3 Discussion collective.
Recueillir différentes réponses au tableau (ardoise ou réécriture des nombres par l’enseignant).
Les élèves doivent se mettre d’accord sur une seule réponse. Les discussions doivent amener à utiliser les relations entre unités à partir des propositions des élèves. L’utilisation des affiches d’unités peut aider.
Par exemple :
– Pour la commande sans million : 24CM 6M = 2 4CM 6M = 2 4 0 0 6 0 0 car 2 = 20 CM, ce qui peut être illustré avec les affiches de centaines de milliers et millions.
– Pour la commande avec seulement unités, milliers et millions : 2 millions 105 milliers 86 unités = 2MM 1CM 5M 8D 6U, ce qui permet de retrouver l’écriture en chiffres 2 1 0 5 0 8 6. Cette fois ce sont les relations du type 1CM = 100M ou 1DM = 10M qui sont en jeu.
Phase 3 : Synthèse sur les décompositions des grands nombres. 10 min.
Faire la synthèse en demandant aux élèves comment ils font pour décomposer un grand nombre en unités, milliers et millions.
Faire émerger que pour décomposer on découpe l’écriture en chiffres aux rangs des milliers et de millions, comme l’illustre ce tableau :
CMM | DMM | MM
| CM | DM | M | C | D | U |
4 | 0 | 3 | 0 | 1 | 2 | 0 | 6 | 8 |
403 millions 12 mille 68 unités
CM2 : ajouter les milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
NB : dans la classe on utilise le symbole M surmonté d’une barre horizontale pour désigner le million, et de deux barres horizontales pour désigner le milliard
Phase 4 : Exercices individuels. 15 min.
(Cf. fiche d’exercices)
Complète.
1. Trouve trois décompositions différentes de ce nombre.
3 7 5 0 0 0 0 = ……………………………………………………..
3 7 5 0 0 0 0 = ……………………………………………………..
3 7 5 0 0 0 0 = ………………………………………………………
2. Décompose ces nombres en millions, milliers et unités.
a. 7 3 0 5 0 1 0 = …………………………………………………..
b. 6 0 3 0 0 8 0 0 = …………………………………………………..
c. 1 4 5 0 0 8 0 0 7 = …………………………………………………..
d. 1 0 0 5 0 0 0 = …………………………………………………..
e. 3 0 5 0 0 0 0 4 1 = …………………………………………………..
3. Conversions entre unités
a. 10 milliers = … dizaine de milliers
b. 20 dizaines de milliers = … centaines de milliers
c. 1 centaine de milliers = … dizaines de milliers
d. 3 centaines de milliers = …… milliers
e. 10 centaines de milliers = …… million
f. 30 centaines de milliers = …… millions
g. 4 millions = …… centaines de milliers
h. 5 dizaines de millions = …… millions
i. 3 centaines de millions = …… dizaines de millions
j. 5 centaines de millions = …… millions
k. 20 millions = …… dizaines de millions
CM2 : ajout de cas avec milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
l. 10 milliards = … dizaine de milliards
m. 20 dizaines de milliards = … centaines de milliards
n. 1 centaine de milliards = … dizaines de milliards
p. 3 centaines de milliards = …… milliards
Séance 2 (55 minutes à 1h)
Objectif : Savoir lire et écrire des grands nombres. Comprendre le lien entre lecture/écriture des grands nombres et décomposition en unités, milliers et millions.
Phase 1 : Rappel sur les décompositions en unités, milliers et millions. 5 min.
Pour rappeler le travail de la séance précédente, proposer quelques décompositions en unités, milliers et millions sur une ardoise ou un cahier (par exemple : 6 7 4 1 3 0 0 et 8 5 3 2 0 0 0 4 0).
CM2 : ajout de cas avec milliards.
Phase 2 : Lire des grands nombres. 8 min.
Remarque : cette phase 2 est courte (trois nombres suffisent), le but étant de confronter rapidement les élèves à l’étape suivante.
2.1 Lire trois nombres écrits au tableau. Collectif.
Annoncer que maintenant nous allons apprendre à dire les grands nombres comme dans la vie courante, c’est à dire sans dire « dizaine de millier » par exemple.
Ecrire trois nombres en chiffres au tableau avec des espaces entre chaque chiffre. Pour chaque nombre les élèves doivent le lire « dans leur tête » et lever la main quand ils pensent savoir. Un élève est interrogé. Les autres disent s’ils sont d’accord. En cas de difficulté donner la réponse en faisant le lien avec les décompositions produites dans la phase précédente.
Nombres proposés : 2 5 9 0 0, 9 0 6 7 3 0, 8 3 4 5 8 0 7 (les nombres sont choisis pour éviter pour le moment la difficulté du zéro muet).
CM2 : des cas avec milliards : 6 0 0 0 5 0 0 0 0 0, 3 7 0 0 2 0 0 0 0 0 0.
2.2 Première synthèse rapide sur la lecture des grands nombres. Collectif.
Expliquer le lien entre la décomposition en millions, milliers et unités (cf. phase 2) et la lecture du nombre.
Exemple écrit au tableau : 8 3 4 5 8 0 7 = 8 millions 345 milliers 807 unités
Donc 8 3 4 5 8 0 7 se lit huit-millions-trois-cent-quarante-cinq-mille-huit-cent-sept.
A partir de la décomposition en millions, milliers et unités il suffit donc de remplacer « milliers » par « mille » pour dire le nombre.
Phase 3 : Ecrire des grands nombres en chiffres. 20 min.
3.1 Présentation du problème
Ecrire un nombre en chiffres (par exemple 6 0 5 2 8 0 4) au dos du tableau (ou sur une ardoise) de telle façon qu’il ne peut pas être vu par les élèves.
Un élève vient lire ce nombre à haute voix derrière le tableau (ou sur une ardoise) sans le montrer aux autres, mais pour que les autres puissent le retrouver.
Ecrire en toutes lettres ce nombre au tableau (six-millions-cinquante-deux-mille-huit-cent-quatre).
Les autres élèves doivent alors retrouver le nombre mystère (ils écrivent en chiffres sur leur ardoise le nombre).
Choix de l’élève qui vient au tableau : pour les premières fois il est important de choisir un élève dont on pense qu’il va réussir à le lire correctement pour faciliter la gestion de la mise en commun.
Nombres proposés : 5 8 2 3 0 7 0 0, 1 0 0 2 0 5 4, 4 7 0 8 0 3 0 9, 6 5 1 0 0 0 0 0 4, … (les nombres sont choisis avec des zéros à certains rangs pour travailler sur la principale difficulté : les zéros que l’on n’entend pas à l’oral).
CM2 : des cas avec milliards : 8 0 0 3 0 2 0 0 0 0, 4 9 0 4 2 0 0 3 0 0 0.
3.2 Recherche individuelle
Les élèves écrivent le nombre en chiffres sur leur ardoise.
Exemples de réponses erronées pour 1 0 0 2 0 5 4 :
– 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 5 0 4 ou des variantes comme 1 0 0 0 0 2 0 0 0 5 4 … (l’élève écrit ce qu’il entend)
– 1 2 5 4 ou 1 2 0 5 4 ou … : difficulté de prise en compte des zéros muets (que l’on n’entend pas à l’oral).
– Des écritures proches du nombre proposé (comme 1 0 0 2 0 6 4) qui peuvent révéler des difficultés liées à la mémorisation (mémoire à court terme) de la suite de mots énoncée à l’oral.
3.3 Discussion collective.
Recueillir les différentes réponses au tableau (ardoise ou réécriture des nombres par l’enseignant).
Les élèves doivent se mettre d’accord sur une seule réponse. Les discussions doivent amener à décomposer les nombres proposés par les élèves pour les invalider. Le tableau de numération (toujours en rangs pour le moment, pas en classes) peut aider.
Une fois tout le monde d’accord, l’élève au tableau montre le nombre de départ et on compare les deux écritures. L’élève qui a lu le nombre a pu aussi faire une erreur …
Un autre élève prend sa place et l’activité se poursuit avec un autre nombre.
Exemple : un élève écrit 1 2 0 5 4 pour « un-million-deux-mille-cinquante-quatre », on peut lire ce nombre en unités 1DM 2 M 5D 4U et constater qu’il n’y a pas de million. Pour avoir un million il faut que le 1 soit au 7ème rang (donc qu’il y ait 6 chiffres à sa droite).
Autre dispositif possible : avec un logiciel de dictée vocale sur ordinateur ou téléphone portable de l’enseignant (possible avec Google Translate® qui est gratuit : on écrit en chiffres dans le mode « anglais » mais sans espace ni point ni virgule, et on demande la traduction en français avec dictée vocale). Du coup on fait discuter les élèves et après on fait lire par le logiciel les différentes propositions pour vérification.
Phase 4 : Synthèse sur la lecture et l’écriture des grands nombres. 10 min.
Faire la synthèse en demandant aux élèves comment ils font pour lire un grand nombre qui est écrit en chiffres, puis pour écrire en chiffres un grand nombre. On peut s’appuyer sur les deux exemples proposés dans la trace écrite ci-dessous.
Faire émerger que pour lire ou écrire des grands nombres on s’appuie sur une décomposition en millions, milliers et unités.
Trace écrite
Lire et écrire un grand nombre
Pour lire ou écrire des grands nombres on s’appuie sur une décomposition en millions, milliers et unités.
Lire un grand nombre (ou l’écrire en lettres) :
4 0 3 0 1 2 0 6 8 = 403 12 M 68 U.
Donc ce nombre se lit « quatre-cent-trois-millions-douze-mille-soixante-huit.
Classe des millions | Classe des milliers | Classe des unités simples | ||||||
CMM | DMM | MM
| CM | DM | M | C | D | U |
4 | 0 | 3 | 0 | 1 | 2 | 0 | 6 | 8 |
Quatre-cent-trois millions douze mille soixante-huit
Attention pour les unités on ne dit pas « unités ».
Les groupements de trois rangs consécutifs s’appellent les « classes » (des unités simples, des milliers, des millions …).
Ecrire un grand nombre en chiffres :
Cinq-millions-quarante-neuf-mille-sept peut s’écrire 5 49 M 7U
Donc il s’écrit 5 0 4 9 0 0 7.
Attention quand on écrit en chiffres, on écrit un espace entre les classes pour faciliter la lecture : 5 049 007.
CM2 : ajouter les milliards.
Phase 5 : Exercices d’entraînement individuels. 15 min.
(Cf fiche d’exercices)
Exercice. Complète.
1. Ecris ces nombres en lettres (on peut aussi mettre quelques nombres sans espaces ???)
30 256 : ………………………………………………………………………………………………………………………………
78 054 : …………………………………………………………………………………………..…………………………………
321 006 : …………………………………………………………………………………………..………………………………
820 000 : …………………………………………………………………………………………..………………………………
1 005 250 : …………………………………………………………………………………………………………………………
700 200 015 : ……………………………………………………………………………………………………………………
820 007 900 : …………………………………………………………………………………………..…………………………
2 : Ecris ces nombres en chiffres :
Cinq-cent-quatre-vingt-mille-cinq : …………………………………
Huit-cent-trente-deux-mille-neuf-cent-cinq : …………………………………
Trois-millions-quatre-cent-cinquante : …………………………………
Quatre-vingt-dix-huit-millions-quatre-cent-mille : …………………………………
Neuf-cent-soixante-seize-millions-huit-cent-mille-trois : …………………………………
Trois-cent-quarante-et-un-millions-deux-cent-trois : …………………………………
CM2 : ajout de cas avec milliards.
30 020 000 000 : ……………………………………………………………………………………………………………………
825 200 000 000 : …………………………………………………………………………………………..…………………………
Trois-cent-milliards-cinq-cent-mille : …………………………………
Six-milliards-trente-millions-deux-mille : …………………………………
Prolongement pour CM2/6ème : lire de très très grands nombres
Consigne
Le nombre d’étoiles dans l’univers visible est à peu près du même ordre de grandeur que le nombre de grains de sables sur terre (d’après certains calculs : https://sciencetonnante.wordpress.com/2012/07/23/y-a-t-il-plus-detoiles-dans-lunivers-que-de-grains-de-sable-sur-terre/ )
L’enseignant écrit ce nombre en chiffres au tableau : « 100 000 000 000 000 000 000 000 » (23 zéros !)
Comment peut-on le dire ? Faites une proposition en écrivant sur votre ardoise.
Recherche, individuelle ou par deux.
Réponses possibles :
– Des élèves cherchent à utiliser les mots connus (mille, millions, milliards) et à les combiner. Par exemple avec des milliards de milliards on obtient : « cent-mille-milliards de milliards », avec des millions de millions, on obtient : « cent-mille-millions de millions de millions ».
– D’autres cherchent les noms des grandes unités suivantes en s’appuyant sur leurs connaissances et sur les préfixes « bi » et « tri » devant « illions » et « illiards ». Exemple : « cent-trilliards » ou « cent-mille-trillions ».
– D’autres enfin proposent des billiards ou trilliards ou … car ils savent que ce sont des très grands nombres mais sans contrôle en lien avec le nombre de chiffres.
Toutes ces propositions sont correctes : « cent-mille-milliards de milliards », « cent-trilliards », « cent-mille-trillions », « cent-mille-millions de millions de millions ».
Mise en commun et synthèse, collectif
L’enseignant recueille plusieurs propositions (justes et erronées) et les fait valider aux élèves. Il commence par les propositions n’utilisant que les mots mille, millions et milliard afin de pouvoir s’appuyer sur les connaissances des élèves.
Pour mettre en évidence la régularité du système, l’enseignant s’appuie sur une extension du tableau de numération qu’il trace au tableau (en classes seulement) ou bien fait apparaître le nom de chaque classe au-dessus des 000.
Une fois que tout le monde est d’accord sur plusieurs désignations, l’enseignant explique qu’en France, officiellement on dit ce nombre « cent-mille-trillions ». Mais « cent-trilliards » est aussi accepté. En appui sur le tableau de numération étendu (tracé au tableau), il montre que le principe des classes s’étend donc aux grands nombres en utilisant les suffixes bi, tri, quadri, quinti, sexti, …
Enfin pour conclure l’enseignant indique aux élèves que pour travailler avec des grands nombres comme celui-ci en fait on utilise de nouvelles notations avec les puissances, qu’ils étudieront seulement en classe de quatrième. Il est alors possible de montrer un extrait de la vidéo suivante en guise d’approfondissement : https://www.youtube.com/watch?v=oqMYAVV-hsA (jusqu’à 5’10)
Compléments pour l’enseignant sur la lecture des très grands nombres :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89chelles_longue_et_courte
Etape 3. Pas de graduation ?
Ces séances abordent l’aspect ordinal du nombre. Cela permet d’apprendre à situer les nombres les uns par rapport aux autres, tout en renforçant les apprentissages précédents (décompositions, lecture/écriture, relations entre unités). Dans une première séance les élèves se familiarisent avec la notion de pas de graduation et apprennent à placer et repérer des nombres sur une demi-droite de manière exacte. Dans la deuxième séance ces connaissances sont réinvesties dans un contexte de comparaison de diamètres des planètes du système solaire, avec l’utilisation d’un placement approximatif. Les relations entre unités sont travaillées ici à travers les relations entre différents pas de graduation (par exemple, entre 0 et 1 000 000 il y a 10 intervalles de 100 000). C’est un point d’appui pour le placement ou le repérage de nombres sur une demi-droite graduée.
Programmes 2016 Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée. Exemples de situations : Illustrer les grands nombres à l’aide d’exemples d’ordres de grandeurs (population française, population mondiale, rayon de la Terre, âge du système solaire …). |
Séance 1. 55 minutes.
Objectif : Placement et repérage exacts de nombres sur une demi-droite graduée. Appropriation de la notion de « pas » de graduation.
Matériel : fiche élève avec graduations, demi-droites graduées dessinées au tableau (les mêmes que celles de la fiche élève)
Phase 1 : repérages simples de nombres pour se familiariser avec la graduation. 15 min
1.1 Présentation de la situation
Rappeler aux élèves ce qu’est une droite graduée en montrant une demi-droite graduée dessinée au tableau (demi-droite graduée Ⓐ de la fiche élève, avec ou sans quadrillage) où sont placés les nombres 0 et 100 000 : on peut placer des nombres sur cette demi-droite, en utilisant les graduations déjà dessinées ou en en dessinant de nouvelles.
Préciser que pour placer (repérer) un nombre sur la demi-droite il faut faire une croix ou un trait vertical sur la demi-droite.
En montrant la fiche, dire aux élèves qu’ils vont devoir placer un nombre sur chacune des quatre graduations Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ et Ⓓ et les écrire au tableau :
– Placer le nombre 400 000 sur la demi-droite Ⓐ
– Placer le nombre 6 000 000 sur la demi-droite Ⓑ
– Placer le nombre 1 100 000 sur la demi-droite Ⓒ
– Placer le nombre 7 000 000 sur la demi-droite Ⓓ
Leur distribuer la fiche (cf. fiche élève).
1.2 Recherche individuelle
Les élèves placent les quatre nombres sur les demi-droites graduées.
1.3 Discussion collective.
Pour la demi-droite Ⓐ, recueillir différentes réponses au tableau en marquant les différents repères placés par les élèves. Les élèves doivent se mettre d’accord sur un repère. Pour cela on peut utiliser le report de la grande graduation de 0 à 100 000 et demander aux élèves quel est « le pas » de la graduation utilisée (ici 100 000).
Faire de même pour les demi-droites Ⓑ, Ⓒ et Ⓓ. Pour la demi-droite Ⓓ un report de 100 000 en 100 000 sur la graduation permet de constater que l’on ne peut pas dépasser le nombre 6 500 000 et donc que le placement de 7 000 000 n’est pas possible sur cette graduation.
Phase 2 : repérage de nombre sur une même droite. 15 min
2.1 Présentation de la situation
En montrant la demi-droite graduée dessinée Ⓔ au tableau, dire aux élèves qu’ils vont devoir placer quatre nombres et les écrire au tableau : 4 200 000, 3 500 000, 7 900 000 et 5 750 000.
2.2 Recherche individuelle ou en binôme
Les élèves placent les quatre nombres sur la demi-droite graduée.
2.3 Discussion collective.
Le déroulement est le même que pour la précédente mise en commun.
Cette fois-ci mettre en évidence l’utilisation des petites graduations, dont le pas est de 100 000.
Phase 3 : variations sur les graduations. 15 min
3.1 Présentation de la situation
Dire aux élèves qu’ils vont devoir placer des nombres sur chacune des trois graduations Ⓕ, Ⓖ et Ⓗ et les écrire au tableau :
– Placer les nombres 50 000 et 210 000 sur la demi-droite Ⓕ
– Placer les nombres 3 800 000 et 4 500 000 sur la demi-droite Ⓖ
– Placer le nombre 24 500 000 sur la demi-droite Ⓗ
3.2 Recherche individuelle ou en binôme
Les élèves placent les quatre nombres sur la demi-droite graduée.
3.3 Discussion collective.
Le déroulement est le même que pour la précédente mise en commun.
Cette fois-ci mettre en évidence le fait qu’il faut 2 ou 3 petites graduations pour faire une graduation de 10 000 (cas Ⓕ). Il faut chercher un partage de la « grande » graduation en 10 parties égales.
Phase 4 Synthèse : placement exact d’un nombre sur une demi-droite graduée. 5 min
Faire la synthèse de ce qui a été vu dans la situation précédente.
Une demi-droite graduée possède un pas de graduation, qui est l’écart entre deux graduations.
Exemple :
Le pas de cette graduation est un million (1 000 000).
Pour placer ou repérer un nombre sur une demi-droite graduée il faut identifier le pas de la graduation et éventuellement utiliser des sous-graduations.
Exemple : pour placer exactement le nombre 120 000 sur cette demi-droite graduée il faut identifier le pas de la graduation principale (100 000) puis construire une sous-graduation de 10 000 en le partageant en 10. Ici la graduation de 10 000 correspond à 2 carreaux du quadrillage.
On utilise les relations entre unités pour construire des sous-graduations dix fois plus petites :
– avec un pas de 1 centaine de milliers, on fait 10 dizaines de milliers,
– avec un pas de 1 million, on fait 10 centaines de milliers,
– etc.
Phase 5 Exercice d’entraînement. 5 min
Exercice. Repérer des nombres sur une demi-droite graduée (cf fiche).
Séance 2 : Tailles des planètes (diamètres)
Objectif : réinvestir le placement et repérage en utilisant cette fois des approximations.
Matériel : fiche élève
Phase 1. Ecriture des longueurs des diamètres. 10 min.
Expliquer que l’on va s’intéresser à la taille des planètes du système solaire. On peut s’appuyer sur une vidéo pour introduire le sujet : https://www.youtube.com/watch?v=9IkT7L0PyVE
Rappeler ce qu’est un diamètre puis dicter les longueurs approximatives des diamètres des planètes (en km) du système solaire et demander aux élèves de les écrire en chiffres dans le tableau situé sur leur fiche. Faire venir un élève au tableau pour écrire le nombre derrière le tableau (ou sur une ardoise, comme dans l’étape 2. Choisir un élève dont on sait qu’il pourrait avoir quelques difficultés dans l’écriture en chiffres
Soleil | Mercure | Venus | Terre | Mars | Jupiter | Saturne | Uranus | Neptune | Pluton |
1 392 000 | 4 879 | 12 104 | 12 756 | 6 794 | 142 984 | 120 536 | 51 118 | 49 492 | 2 374 |
NB : Certains élèves peuvent être déstabilisés de « revenir en arrière « , c’est à dire d’écrire des nombres plus petits que 1 000 000. Ils ont alors tendance à écrire en millions.
Corriger immédiatement après l’écriture de chaque nombre en retournant le tableau (ou en montrant l’ardoise). Choisir un élève dont on sait qu’il pourrait avoir quelques difficultés dans l’écriture en chiffres
Phase 2. Placements approximatifs des nombres correspondants aux différents diamètres. 15 min
1. Présentation du problème
Dessiner ou afficher au tableau une demi-droite graduée avec 15 graduations régulières en indiquant où se situent les graduations correspondant aux nombres 0 et 1 000 000.
Chaque élève dispose de la même graduation mais en taille réduite sur sa fiche.
Expliquer aux élèves que pour se donner un ordre de grandeur des différences entre les diamètres des planètes, ils vont placer leur longueur (en km) sur une droite graduée.
Dire aux élèves qu’ils vont commencer par placer le diamètre du soleil sur leur droite graduée et qu’ils nommeront S le point obtenu.
NB : pour le moment l’enseignant ne dit pas quel est le pas de la graduation (100 000) : ce sera aux élèves de le trouver dès le problème 1. Il ne dit pas non plus que le placement est approximatif.
2. Recherche individuelle ou en binôme.
NB : Pour les élèves qui en ont besoin, s’il est difficile d’écrire chaque nombre au niveau de chaque graduation (100 000 étant long et l’espace manquant), il est possible d’écrire en abrégé les unités de numération.
3. Discussion collective.
Choisir d’abord des élèves qui ont fait des erreurs, ce qui permet de se mettre d’accord sur la tâche, sur la graduation de la droite, sur le fait d’avoir une approximation, la façon d’écrire le point S (croix ou trait), etc.
Quand un élève vient faire une proposition, il explique son choix puis les autres indiquent s’ils sont d’accord ou pas et pourquoi.
Au cours de la discussion pointer le fait que les graduations vont de 100 000 en 100 000 et à écrire les graduations sur la droite : 1 100 000, 1 200 000, 1 300 000, …
Dès ce premier problème certains élèves voudront être précis pour placer les nombres. Il faut donc leur expliquer que l’on fait ici des approximations. Les élèves peuvent placer le nombre donné en se repérant par rapport au milieu de l’intervalle situé entre chaque graduation ou bien en cherchant un partage approximatif en 10 de la graduation.
Phase 3. Autres placements de nombres (Uranus et Jupiter). 10 min.
1. Présentation du problème
Dire aux élèves qu’ils doivent maintenant placer les diamètres d’Uranus et de Jupiter sur leur droite graduée.
2. Recherche individuelle ou en binôme.
Même déroulement que dans la phase précédente.
Phase 4. Autres placements de nombres (Terre). 15 min.
1. Présentation du problème
Dire aux élèves qu’ils doivent maintenant placer les diamètres des autres planètes sur leur droite graduée.
2. Recherche individuelle ou en binôme.
Même déroulement que dans la phase précédente.
Phase 5. Synthèse : placement approximatif d’un nombre sur une demi-droite graduée. 5 min.
Pour placer un nombre approximativement entre deux graduations on peut utiliser le milieu de l’intervalle formé par ces graduations. Par exemple, entre 0 et 1 000 000, on obtient le nombre 500 000, entre 1 000 000 et 2 000 000 on obtient le nombre 1 500 000, etc.
On peut recommencer ce procédé pour obtenir des moitiés de moitiés …
Il est aussi possible d’utiliser un partage approximatif en 10 de l’intervalle. Par exemple pour placer 300 000 entre 0 et 1 000 000, on découpe l’intervalle en 10 et on prend la 3ème graduation. Pour placer 1 900 000 entre 1 000 000 et 2 000 000, on découpe l’intervalle en 10 et on prend la 9ème graduation à partir de 1 000 000.
On utilise les relations entre unités pour construire des sous-graduations dix fois plus petites : ici pour un pas de 1 million, avec un partage en 10 on obtient une nouvelle graduation en centaines de milliers.
Phase 6. Entraînement. 10 min.
Voir fiche élève.
Exercices : placer des nombres approximativement sur une droite graduée
CM2 : avec des milliards (cf fiche)
CM2. Exercice. Placements et repérages approximatifs.
Prolongement pour les CM2 et 6ème : distances des planètes au soleil dans le système solaire
Commencer par dire aux élèves que l’on s’intéresse maintenant aux distances des planètes au soleil, dans le système solaire. Dicter les distances approximatives des planètes au soleil (en km). Les élèves les écrivent en chiffres dans le tableau situé sur leur fiche.
Corriger immédiatement après l’écriture de chaque nombre pour s’assurer qu’il n’y a pas d’erreur.
Tracer une droite graduée au tableau avec 6 graduations (de 0 à 6 milliards), en plaçant les nombres 0 et 1 milliard.
De la même manière que dans la séance 2, les élèves placent d’abord les distances au soleil de : Pluton (P), Saturne (Sa) et de la Terre (T)
Ceci est suivi d’une discussion collective.
Ensuite, individuellement, chaque élève place les distances au soleil de : Neptune (N), Uranus (U), Jupiter (J), Mars (Ma), Venus (V) et Mercure (Me)
Ce travail peut être poursuivi par une analyse critique collective d’une représentation du système solaire
L’enseignant présente cette image à ses élèves (possible avec les CM1 aussi) comme étant une représentation du système solaire trouvée sur un site internet. Il leur demande ce qu’ils pensent de la façon dont sont représentées les planètes sur cette image.
Ce travail permet de revenir à la fois sur les tailles relatives des diamètres des planètes (séance 2) et sur les distances des planètes au soleil (prolongement CM2). Dans les deux cas les droites numériques construites permettent de voir que sur cette représentation les rapports des diamètres ou des distances au soleil ne sont pas respectés. On peut expliquer cela par le besoin de lisibilité. Qui en contrepartie peut induire des représentations erronées chez les élèves.
NB : on peut aussi regarder les manuels des élèves pour vérifier si la représentation est exacte
Pour finir, l’enseignant peut présenter une vidéo sur la taille des planètes pour donner un autre point de vue : https://www.youtube.com/watch?v=IiQyRZgxsqs (seulement 1min14s, très visuel)
Prolongement pour les CM1, CM2 et 6ème : frise chronologique
Dire aux élèves qu’on a trouvé cette frise chronologique sur internet qui donne la date de grands événements liés à l’apparition de la vie sur Terre et son évolution :
http://www.hominides.com/html/chronologie/chronoterre.php
Commencer par poser quelques questions collectivement pour que les élèves s’approprient le document :
– Depuis combien de temps la vie est-elle apparue sur Terre ?
– Depuis combien de temps les mammifères sont apparus ?
– …
Les élèves sont ensuite amenés à discuter de la représentation utilisée, comme pour les planètes afin de faire constater la non régularité de l’échelle utilisée. L’enseignant propose alors de placer ces événements sur une droite graduée régulièrement afin de se donner une idée plus juste de leur répartition dans le temps.
Le problème proposé aux élèves consiste à construire une droite graduée régulière permettant de placer les événements suivants :
– Premiers mammifères : 160 millions d’années
– Premiers dinosaures : 230 millions d’années
– Apparition des hominidés : 7 millions d’années
– Disparition des dinosaures : 65 millions d’années
Il revient donc aux élèves de choisir la « taille » du pas de graduation (suffisamment grand pour que le placement de 7 millions notamment soit visible, mais pas trop grand pour que 230 millions puisse être placé). Ils peuvent avoir à faire plusieurs essais avant de trouver un pas qui convienne.
La mise en commun porte donc à la fois sur la validité du placement sur la graduation et sur le choix de « taille » de la graduation.
Pour les CM2/6ème seulement on peut ajouter les événements suivants :
Formation de la terre : 4,6 milliards d’années / Apparition de la vie dans les océans : 3,5 milliards d’années / Premières traces de vie hors de l’eau : 430 millions d’années.
Etape 4. Calculateurs prodiges.
Cette activité de calcul mental vise à renforcer les connaissances construites dans les séances précédentes en mobilisant les relations entre unités et entre classes. Ici c’est principalement le nom des nombres qui est utilisé, et pas leur écriture chiffrée, afin d’amener les élèves à raisonner avec les mots « mille » et « million ». Pour calculer « dix fois deux-cent-mille » par exemple nous souhaitons amener les élèves à utiliser le fait que la centaine de mille devient un million lorsqu’elle est multipliée par dix. Le même calcul à l’écrit (« 10 x 200 000 = … ») les amènerait à écrire un zéro supplémentaire sans se questionner sur la relation entre la centaine de millier et le million. Pour être plus rapide que la calculatrice c’est donc les relations entre unités qu’il faudra utiliser. Les élèves vont donc apprendre pourquoi on écrit un zéro (ou trois zéros) quand on multiplie par dix (ou par mille).
Cette activité s’inspire d’une activité de calcul mental « Plus vite que la calculette » (Marcel Labarrère, « outils » de l’I.C.E.M.) adaptée ici au travail sur les grands nombres.
Programmes de 2016 Utiliser et représenter les grands nombres entiers: – Composer, décomposer les grands nombres entiers en utilisant des groupements par milliers. »Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et leurs relations. – Comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres (jusqu’à 12 chiffres). Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux – Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur. |
Matériel
Une ardoise pour chaque élève. Une calculatrice pour la classe.
Le tableau de numération au dos du tableau ou sur une affiche que l’on peut retourner (afin qu’il soit caché pendant la recherche mais montré lors de la conclusion de chaque calcul).
Séance 1 : Multiplications par dix (55 minutes à 1h)
Phase 1 : Présentation de l’activité. 12 min
Commencer par demander aux élèves s’ils savent ce qu’est un calculateur prodige. Une rapide discussion amène à le définir ainsi : « Un calculateur prodige est une personne capable d’effectuer mentalement des opérations mathématiques impliquant des nombres très grands ou encore des calculs mentaux très rapides » (wikipedia).
NB : pour amorcer la discussion, il est possible de montrer cette courte vidéo d’un calculateur prodige qui trouve mentalement plus de 30 chiffres après la virgule de la division de 62 par 167 : https://www.youtube.com/watch?v=nwi3ya566KQ (1 min).
Annoncer aux élèves alors qu’aujourd’hui ils vont essayer d’être des calculateurs prodiges : il va falloir être plus rapide que la calculatrice !
Montrer une calculatrice et rappeler son fonctionnement avec les élèves (écrire un nombre, faire une multiplication ou une division, obtenir le résultat, remettre à 0, …).
NB : certaines calculatrices n’affichent que 8 chiffres. On se limitera alors aux calculs dont le résultat est inférieur à 100 millions.
Présenter le déroulement de l’activité. Il est identique pour chacun des calculs proposés. Voir description phase 2.
Phase 2 : Série de calculs. 30 min
Un élève (le « calculateur ») vient devant le tableau pour utiliser la calculatrice. Les autres utilisent leur tête ! Et leur ardoise (ou une fiche pour écrire les résultats).
1. Le calcul est annoncé.
Ecrire le calcul (en lettres) au tableau en le lisant une ou deux fois.
2. Recherche.
Les élèves calculent mentalement le résultat (ils ne peuvent pas écrire). Le calculateur effectue le calcul à la calculatrice.
Dès qu’un élève a trouvé il lève la main sans annoncer le résultat. Quand le calculateur a obtenu le résultat sur la calculatrice il dit « top ! ».
Laisser un temps supplémentaire aux élèves qui n’auraient pas terminé avant le « top » (pour eux l’enjeu est de trouver quand même la réponse).
3. Ecriture du résultat.
Au signal de l’enseignant les élèves écrivent le résultat sur leur ardoise. Le calculateur aussi.
4. Présentation et discussion rapide des résultats.
Les élèves lèvent leur ardoise (le calculateur ne montre pas encore le résultat).
Recueillir différentes réponses proposées (deux ou trois, dont une réponse juste) en montrant les ardoises aux élèves. Les élèves expliquent leur procédure et la classe valide ou non leurs réponses.
5. Vérification.
Le calculateur montre son ardoise.
6. Bilan rapide sur les méthodes utilisées.
Demander quelles sont les procédures qui ont permis de trouver la bonne réponse.
Discuter de la rapidité des procédures (« comment fait-on pour être plus rapide que la calculatrice ? »).
Rappeler la relation entre unités en jeu dans le calcul effectué. Par exemple : « dix centaines de mille ça fait un million ». Il peut s’appuyer sur le tableau de numération pour illustrer le décalage d’un rang vers la gauche dans la multiplication par dix.
Commentaires pour l’enseignant.
Pourquoi écrire en lettres ? Les calculs sont écrits en lettres par l’enseignant et par les élèves afin d’amener les élèves à travailler sur les relations entre unités sans utiliser les règles d’écriture de zéros à droite pour multiplier par 10, 100, …
Choix de l’élève calculateur (élève qui a la calculatrice) : cet élève devra traduire le nombre donné en chiffres, savoir avec combien de zéros il s’écrit, et utiliser correctement la calculatrice pur le calcul, ce qui peut prendre du temps ! Pour la correction il devra lire correctement le nombre écrit sur la calculatrice. Il est donc conseillé d’éviter de choisir un élève en difficulté comme calculateur.
Les types de calculs travaillés. Dans cette première séance les calculs proposés sont des multiplications et divisions par dix pour travailler les relations entre unités consécutives (base 10).
L’utilisation du tableau de numération. Il est caché pendant la recherche des élèves et la vérification des résultats. Il est seulement montré au moment où les élèves expliquent leur procédure, pour illustrer le déplacement des chiffres dans la multiplication ou division par 10.
Dans le tableau de numération il n’est pas utile d’écrire les zéros, mais juste le chiffre significatif (cf. synthèse plus bas).
Les calculs.
1) Dix fois cinquante-mille (10 x 50 000)
2) Dix fois deux-millions (10 x 2 000 000)
3) Dix fois trois-cent-mille (10 x 300 000)
4) Huit-cent-mille fois dix (800 000 x 10)
5) Dix fois un-million-cinq-cent-mille (10 x 1 000 030)
6) Trois-millions-huit-cent-mille fois dix (3 800 000 x 10)
7) Quarante-millions divisé par dix (40 000 000 : 10)
8) Six-millions divisé par dix (6 000 000 : 10)
9) Sept-cent-millions divisé par dix (700 000 000 : 10)
10) Dix fois quatre-vint-dix-millions (10 x 90 000 000)
Le choix des calculs. Pour les deux premiers calculs l’oral peut aider pour trouver la réponse (par exemple en s’appuyant sur le fait que dix fois cinquante est égal à cinq-cents) mais pour le troisième calcul le passage des centaines de mille aux millions est plus complexe.
CM2 : proposer aussi des calculs qui dépassent le milliard.
11) Dix fois quatre-cent-millions (10 x 400 000 000)
12) Sept-milliards divisé par dix (7 000 000 000 : 10)
13) Quatre-vingt-millions fois dix (80 000 000 000 x 10)
14) Deux-cent-milliards divisé par dix (200 000 000 000 : 10)
Exemples de raisonnements d’élèves pour calculer dix fois trois-cent-mille.
§ au début beaucoup d’élèves imaginent le nombre écrit en chiffres et essaient d’écrire un zéro à droite et cherchent le nombre obtenu, ce qui est assez coûteux à faire mentalement
§ des élèves utilisent les relations entre unités : quand on multiplie des centaines de mille par dix ça fait des millions, donc trois centaines de mille devient trois millions.
§ des élèves font une sorte de mélange entre les deux procédures précédentes : ils imaginent le 3 au rang des centaines de mille, puis ils le décalent d’un rang vers la gauche, ce qui donne 3 millions.
Phase 3 : Synthèse. 10 min.
Faire la synthèse des procédures et savoirs identifiés suite aux différents calculs. Pour cela demander aux élèves comment ils font pour être plus rapides pour :
– multiplier un nombre par dix. Faire émerger que chaque unité devient dix fois plus grande, par exemple les centaines de milliers deviennent des millions quand on multiplie par dix, ce qui revient à décaler les chiffres d’un rang vers la gauche.
– diviser un nombre par dix. Faire émerger que chaque unité devient dix fois plus petite, par exemple les millions deviennent des centaines de milliers, ce qui revient à décaler les chiffres d’un rang vers la droite.
Illustrer avec deux exemples et le tableau de numération :
– Deux-cent-mille fois dix est égal à deux-millions (200 000 x 10 = 2 000 000)
– Cinq millions divisé par dix est égal à cinq-cent-mille (5 000 000 : 10 = 500 000)
Classe des millions | Classe des milliers | Classe des unités simples | ||||||
CMM | DMM | MM
| CM | DM | M | C | D | U |
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| 2 |
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| 2 |
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| 5 |
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NB : on rappelle que dans la classe on utilise le symbole M surmonté d’une barre horizontale pour désigner le million
Expliquer le lien avec la « règle des zéros » que les élèves connaissent : si on calcule 200 000 × 10 (écrit en chiffres cette fois), on peut donc décaler le 2 d’un rang, ce qui revient à écrire un zéro à droite.
CM2 : ajouter les milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards
Trace écrite Multiplication et division par 10 Quand on multiplie un nombre par dix, chaque unité devient dix fois plus grande, par exemple les centaines de milliers deviennent des millions quand on multiplie par dix, ce qui revient à décaler les chiffres d’un rang vers la gauche. Quand on divise un nombre par dix chaque unité devient dix fois plus petite, par exemple les millions deviennent des centaines de milliers, ce qui revient à décaler les chiffres d’un rang vers la droite. Par exemple : – Deux-cent-mille fois dix est égal à deux-millions (200 000 x 10 = 2 000 000) – Cinq millions divisé par dix est égal à cinq-cent-mille (5 000 000 : 10 = 500 000)
Lien avec la « règle des zéros » : si on calcule 200 000 × 10, on peut donc décaler le 2 d’un rang vers la gauche, ce qui revient à écrire un zéro à droite. Si on calcule 200 000 : 10, on peut donc décaler le 2 d’un rang vers la droite, ce qui revient à supprimer le zéro à droite. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Phase 4 : Exercices individuels. 8 min.
Donner la fiche d’exercices aux élèves (cf. fiche élève).
Exercice. Effectue les calculs suivants en écrivant en chiffres ou en lettres.
1) Dix fois cinquante-mille = ………………………………………………………………… (en lettres)
2) Dix fois deux-cent-mille = ………………………………………………………………… (en lettres)
3) Six-millions fois dix = ………………………………………………………………… (en lettres)
4) 9 DM x 10 = ………………………………………………… (en unités)
5) 1 CM x 10 = ………………………………………………… (en unités)
6) 10 x 8 000 000 = …………………………. (en chiffres)
7) 10 x 700 000 = …………………………. (en chiffres)
8) 400 000 x 10 = …………………………. (en chiffres)
9) Dix fois sept-millions-trois-mille = ………………………………………………………………… …………………………….. (en lettres)
10) 5 000 020 x 10 = ………………………….(en chiffres)
11) Vingt-millions divisé par dix = ………………………………………………………………… (en lettres)
12) Cinq-millions divisé par dix = ………………………………………………………………… (en lettres)
13) 9 CM : 10 = ………………………………………………… (en unités)
14) 4 : 10 = ………………………………………………… (en unités)
15) 8 000 000 : 10 = ………………………….(en chiffres)
16) 300 070 000 : 10 = ………………………….(en chiffres)
CM2 : proposer aussi des calculs qui dépassent le milliard.
17) Dix fois trois-cent-millions = ………………………………………………………………… (en lettres)
18) Un-milliard divisé par dix = ………………………………………………………………… (en lettres)
19) 10 x 50 000 000 000 = …………………………………(en chiffres)
20) 200 000 000 000 : 10 = …………………………………(en chiffres)
Séance 2 : Multiplications par cent et mille (55 minutes environ)
Le déroulement est le même que pour la séance précédente.
Phase 1 : Rappel rapide de l’activité. 3 min
Demander aux élèves de rappeler ce qui a été fait lors de la séance précédente. Leur faire redire, la méthode qui a été mise en avant pour multiplier ou diviser par dix, pour être plus rapide que la calculatrice.
Phase 2 : Série de calculs. 30 min
Décrire le déroulement de l’activité (le même que celui présenté à la séance 1) : le calcul est annoncé, recherche des élèves, écriture du résultat, présentation et discussion rapide des résultats, vérification et bilan rapide sur les méthodes utilisées
Les calculs.
1) Mille fois trois-mille (1 000 x 3 000)
2) Mille fois huit-mille (1 000 x 8 000)
3) Douze-mille fois mille (12 000 x 1 000)
4) Cinquante-mille fois cent (50 000 x 100)
5) Deux-cent-cinquante-mille fois cent (200 000 x 100)
6) Dix fois cinq-cent-mille (10 x 500 000)
7) Huit-millions divisé par mille (8 000 000 : 1000)
8) Vingt-cinq-millions divisé par mille (25 000 000 : 1 000)
9) Quatre-millions divisé par cent (4 000 000 : 100)
10) Soixante-millions divisé par cent (60 000 000 : 100)
11) Neuf-cent-millions divisé par mille (900 000 000 : 1 000)
12) Cent-millions divisé par dix (100 000 000 : 10)
Le choix des calculs.
La plupart des calculs proposés sont des multiplications et divisions par mille pour travailler les relations entre unités de base 1000 (classes).
Quelques cas de multiplication et division par dix sont introduits pour exercer la vigilance des élèves et réinvestir le travail de la séance précédente.
Il y a aussi quelques multiplications et divisions par 100 qui visent à amener les élèves à effectuer deux multiplications ou divisions par dix consécutives.
Phase 3 : Synthèse. 10 min.
Faire la synthèse des procédures et savoirs identifiés suite aux différents calculs. Pour cela demander aux élèves comment ils font pour être plus rapides pour multiplier ou diviser un nombre par mille.
Faire émerger que quand on multiplie par mille chaque unité devient mille fois plus grande, ce qui revient à passer à la classe supérieure, par exemple les milliers deviennent des millions. Quand on divise par mille chaque unité devient mille fois plus petite, ce qui revient à passer à la classe inférieure, par exemple les millions deviennent des milliers.
Illustrer avec deux exemples et le tableau de numération :
– deux-mille fois mille est égal à deux-millions (2 000 x 1 000 = 2 000 000)
– huit-millions divisé par mille est égal à huit-mille (8 000 000 : 1 000 = 8 000)
Classe des millions | Classe des milliers | Classe des unités simples | ||||||
CMM | DMM | MM
| CM | DM | M | C | D | U |
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| 2 |
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Faire le lien avec la « règle des zéros » : si on calcule 2 000 x 1 000 (écrit en chiffres cette fois), on peut donc décaler le 2 de trois rangs vers la gauche, ce qui revient à écrire trois zéros à droite.
Ensuite demander aux élèves comment ils font pour être plus rapides pour multiplier ou diviser un nombre par cent. Faire émerger que multiplier par cent c’est multiplier deux fois par dix donc décaler les chiffres de deux rangs vers la gauche. Diviser par cent c’est diviser deux fois par 10 donc décaler les chiffres de deux rangs vers la droite.
Illustrer avec deux exemples et le tableau de numération :
– vingt-mille fois cent est égal à deux-millions (20 000 x 100 = 2 000 000)
– huit-millions divisé par cent est égal à quatre-vingt-mille (8 000 000 : 100 = 80 000)
Classe des millions | Classe des milliers | Classe des unités simples | ||||||
CMM | DMM | MM
| CM | DM | M | C | D | U |
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Faire le lien avec la technique d’écriture de zéros à droite : si on calcule 2 000 x 100 (écrit en chiffres cette fois), on peut donc décaler le 2 de deux rangs vers la gauche, ce qui revient à écrire deux zéros à droite.
CM2 : ajouter les milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
Trace écrite Multiplication et division par 1000 Quand on multiplie par mille chaque unité devient mille fois plus grande, ce qui revient à passer à la classe supérieure, par exemple les milliers deviennent des millions. Quand on divise par mille chaque unité devient mille fois plus petite, ce qui revient à passer à la classe inférieure, par exemple les millions deviennent des milliers. Exemples : – deux-mille fois mille est égal à deux-millions (2 000 x 1 000 = 2 000 000) – huit-millions divisé par mille est égal à huit-mille (8 000 000 : 1 000 = 8 000)
Lien avec la « règle des zéros » : si on calcule 2 000 x 1 000 (écrit en chiffres cette fois), on peut donc décaler le 2 de trois rangs vers la gauche, ce qui revient à écrire trois zéros à droite. Multiplication et division par 100 Multiplier par cent c’est multiplier deux fois par dix donc décaler les chiffres de deux rangs vers la gauche. Diviser par cent c’est diviser deux fois par 10 donc décaler les chiffres de deux rangs vers la droite. Exemples : – vingt-mille fois cent est égal à deux-millions (20 000 x 100 = 2 000 000) Lien avec la « règle des zéros » : si on calcule 20 000 x 100 (écrit en chiffres cette fois), on peut donc décaler le 2 de deux rangs vers la gauche, ce qui revient à écrire deux zéros à droite. – huit-millions divisé par cent est égal à quatre-vingt-mille (8 000 000 : 100 = 80 000)
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Phase 4 : Exercices individuels. 10 min.
Exercice. Effectue les calculs suivants.
1) Mille fois cinq-mille = ………………………………………………………………… (en lettres)
2) Mille fois cent-mille = ………………………………………………………………… (en lettres)
3) Vingt-huit-mille fois mille = ………………………………………………………………… (en lettres)
4) Dix fois trois-cent-mille = ………………………………………………………………… (en lettres)
5) 5 M x 1000 = ………………………………………………… (en unités)
6) 8 DM x 1000 = ………………………………………………… (en unités)
7) 1 000 x 9 000 = …………………………. (en chiffres)
8) 4 000 x 1000 = ………………………….(en chiffres)
9) 520 000 x 1 000 = …………………………. (en chiffres)
10) 10 x 900 000 = …………………………. (en chiffres)
11) Sept-millions divisé par mille = ………………………………………………………………… (en lettres)
12) Quatre-cent-dix-millions divisé par mille = ………………………………………………………………… …………………………….. (en lettres)
13) 4 : 1000 = ………………………………………………… (en unités)
14) 2 : 10 = ………………………………………………… (en unités)
15) 6 000 000 : 1000 = …………………………. (en chiffres)
16) 67 000 000 : 1 000 = …………………………. (en chiffres)
CM2 : des cas avec milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
17) Mille fois deux-millions = ………………………………………………………………… (en lettres)
18) Mille fois cent-millions = ………………………………………………………………… (en lettres)
19) 4 000 000 x 1000 = ………………………….(en chiffres)
20) Sept-milliards divisé par mille = ………………………………………………………………… (en lettres)
21) Cinquante-milliards divisé par mille = ………………………………………………………………… …………………………….. (en lettres)
22) 700 000 000 000 : 1000 = …………………………………. (en chiffres)
Prolongement : retrouver le calcul
Cette situation permet de réinvestir les relations travaillées lors des séances précédentes.
Phase 1 : Présentation de l’activité. 5 min
Dire qu’aujourd’hui tout le monde va utiliser la calculatrice. Je vais vous donner un nombre de départ et sans utiliser la touche de remise à zéro vous aller devoir afficher un nombre cible.
Par exemple, le nombre de départ est « trois-mille » (ne rien écrire au tableau). Est-ce que tout le monde a bien le nombre trois-mille affiché sur sa calculatrice ? Ecrire le nombre 3000 au tableau et demander aux élèves d’appuyer sur la touche « = » pour valider ce nombre. Maintenant, sans effacer ce nombre, vous devez trouver un moyen de faire afficher le nombre « trois-cent » sur votre calculatrice. Quand vous avez fini vous levez la main.
Une mise en commun sera ensuite organisée pour savoir si vous avez réussi à afficher le nombre cherché et comment vous avez fait.
Autre déroulement possible reprenant le même format que les séances précédentes.
– L’enseignant annonce un nombre par exemple neuf-millions (écrit en lettres au tableau)
– Le calculateur écrit le nombre sur la calculatrice (pendant ce temps les autres peuvent imaginer quel nombre on va pouvoir chercher à partir de 9 millions pour se préparer). L’enseignant vérifie la calculatrice et appuie sur la touche = pour valider.
– Puis l’enseignant annonce qu’il faut chercher par combien il faut multiplier ou diviser pour faire le nombre cible, par exemple neuf-cent-mille. Le calculateur, lui, doit chercher à faire afficher le nombre cible sur sa calculatrice à partir du nombre de départ, en faisant une multiplication ou division.
Phase 2 : Série de calculs. 30 min
1) Deux-cent-mille pour aller à deux-millions ?
2) Six-mille pour aller à six-cent-mille ?
3) Huit-mille pour aller à huit-millions ?
4) Trois-cent-mille pour aller à trois-cent-millions ?
5) Trois-millions pour aller à trois-cent-mille ?
6) Un-million pour aller à mille ?
7) Cinquante-millions pour aller à cinq-cent-mille ?
8) Trois-cent-millions pour aller à trois-cent-mille ?
CM2 : des cas avec milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
9) Cent-millions pour aller à un-milliard ?
10) Six-milliards pour aller à six-millions ?
11) Huit-millions pour aller à huit-milliards ?
12) Cinq-milliards pour aller à cinq-cent-millions ?
13) Trois-milliards pour aller à trois-cent-millions ?
14) Un-milliard pour aller à un-million ?
Phase 3 : Exercices individuels. 10 min.
Exercice. Effectue les calculs suivants.
1) Cinq-mille pour aller à cinq-cent-mille → …………………
2) Cinq-mille pour aller à cinq-millions → …………………
3) Huit-cent-mille pour aller à huit-millions → …………………
4) Deux-millions pour aller à deux-cent-mille → …………………
5) 300 M pour aller à 3 → …………………
6) 2 pour aller à 200 → …………………
7) 8 pour aller à 8 M → …………………
8) 7 M pour aller à 7 → …………………
9) 700 000 pour aller à 7 000 000 → …………………
10) 50 000 pour aller à 5 000 000 → …………………
11) 100 000 000 pour aller à 1 000 000 → …………………
12) 1 000 pour aller à 1 000 000 → …………………
13) 3 000 000 pour aller à 3 000 → …………………
14) 60 000 000 pour aller à 6 000 000 → …………………
CM2 : des cas avec milliards, dizaines de milliards et centaines de milliards.
15) Cinq-millions pour aller à cinq-cent-milliards → …………………
16) Huit-cent-millions pour aller à huit-milliards → …………………
17) Deux-cent-milliards pour aller à deux-cent-millions → …………………
18) 300 000 000 pour aller à 3 000 000 000 → …………………
19) 100 000 000 000 pour aller à 1 000 000 000 → …………………
Prolongement : ordres de grandeurs
Objectif : utiliser les connaissances sur l’approximation (droite graduée) et le calcul multiplicatif par 10, 100, 1000 pour déterminer des ordres de grandeurs de calculs additifs et multiplicatifs.
Comme dans la situation « calculateurs prodiges » un élève vient devant le tableau pour utiliser la calculatrice. Le but des autres élèves est de trouver le résultat plus rapidement que lui.
Le problème consiste à donner un calcul et différents résultats : les élèves doivent retrouver le bon résultat plus rapidement que l’élève qui a une calculatrice. Il est interdit de poser l’opération (ce qui serait de toute façon trop long).
Ecrire le calcul au tableau (et demander aux élève de commencer déjà le regarder : ils vont comprendre au fur et à mesure des calculs qu’ils peuvent déjà chercher un ordre de grandeurs) puis écrire les 4 résultats possibles (les élèves commencent ainsi déjà à calculer pour prendre de l’avance celui qui a la calculatrice). Quand les 4 nombres sont écrits donner le signal de départ ! L’élève au tableau tape le calcul sur la machine et les autres calculent mentalement (en fait ils comprendre au fur et à mesure des calculs l’intérêt de cherche un ordre de grandeur du résultat) et lèvent la main quand ils ont le résultat (ils peuvent écrire la lettre a, b, c ou d sur l’ardoise pour aller plus vite).
Les phases de mise en commun successives, après chaque calcul, serviront à mettre en évidence l’intérêt d’utiliser des valeurs approchées des nombres pour trouver un ordre de grandeur.
Un autre argument comme le calcul du chiffre des unités (produit du chiffre des unités des deux nombres) peut être utilisé mais ne suffit pas pour trouver le bon résultat.
Exemples de calculs :
Quel est le résultat de 99 × 32 ?
a. 6802 | b. 718 | c. 3168 | d. 9148 |
Quel est le résultat de 197 × 11 ?
a. 987 | b. 1107 | c. 7327 | d. 2167 |
Quel est le résultat de 31 × 96 ?
a. 5816 | b. 2976 | c. 1718 | d. 276 |
Quel est le résultat de 406 × 19 ?
a. 754 | b. 4196 | c. 7714 | d. 6514 |